Постройте график функции y=x^2 - |4x+3| и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком...

Чтобы построить график функции ( y = x^2 - |4x + 3| ) и определить, при каких значениях ( m ) прямая ( y = m ) имеет с графиком этой функции ровно три общие точки, нужно выполнить следующие шаги:

1. Разбить функцию на куски: Функция ( y = x^2 - |4x + 3| ) содержит модуль, поэтому необходимо рассмотреть два случая:

   • Когда ( 4x + 3 \geq 0 ), т.е. ( x \geq -\frac{3}{4} ).
   • Когда ( 4x + 3 < 0 ), т.е. ( x < -\frac{3}{4} ).

   Таким образом, наша функция разбивается на две части: [ y = \begin{cases} x^2 - (4x + 3), & \text{если } x \geq -\frac{3}{4}, \ x^2 + (4x + 3), & \text{если } x < -\frac{3}{4}. \end{cases} ]

2. Упрощение каждой части:

   • Для ( x \geq -\frac{3}{4} ): [ y = x^2 - 4x - 3. ]
   • Для ( x < -\frac{3}{4} ): [ y = x^2 + 4x + 3. ]

3. Построение графика каждой части:

   • ( y = x^2 - 4x - 3 ) — парабола, ветви которой направлены вверх, вершина находится в точке ( x = 2 ).
   • ( y = x^2 + 4x + 3 ) — парабола, ветви которой также направлены вверх, вершина находится в точке ( x = -2 ).

4. Нахождение точек пересечения парабол на границе ( x = -\frac{3}{4} ): Для ( x = -\frac{3}{4} ): [ y = \left(-\frac{3}{4}\right)^2 - 4\left(-\frac{3}{4}\right) - 3 = \frac{9}{16} + 3 - 3 = \frac{9}{16}. ] [ y = \left(-\frac{3}{4}\right)^2 + 4\left(-\frac{3}{4}\right) + 3 = \frac{9}{16} - 3 + 3 = \frac{9}{16}. ]

   Оба уравнения дают ( y = \frac{9}{16} ).

5. Анализ точек пересечения прямой ( y = m ) с графиком: Чтобы прямая ( y = m ) имела ровно три общие точки с графиком функции, нужно учесть, что пересечение может происходить как с одной, так и с другой параболой.

   • Для функции ( x^2 - 4x - 3 ): Решим уравнение: [ x^2 - 4x - 3 = m. ] Это квадратное уравнение: [ x^2 - 4x - (3 + m) = 0. ] Дискриминант: [ D_1 = 16 + 4(3 + m) = 28 + 4m. ]

   • Для функции ( x^2 + 4x + 3 ): Решим уравнение: [ x^2 + 4x + 3 = m. ] Это квадратное уравнение: [ x^2 + 4x + (3 - m) = 0. ] Дискриминант: [ D_2 = 16 - 4(3 - m) = 4m + 4. ]

   Для того чтобы прямая ( y = m ) имела ровно три общие точки с графиком функции, одно из уравнений должно иметь два действительных корня, а второе — один действительный корень (т.е. дискриминант должен быть равен нулю).

   [ 28 + 4m = 0 \quad \Rightarrow \quad m = -7. ] [ 4m + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad m = -1. ]

   Таким образом, прямая ( y = m ) имеет ровно три общие точки с графиком функции ( y = x^2 - |4x + 3| ) при следующих значениях ( m ):

   [ m = -7 \quad \text{или} \quad m = -1. ]

Для того чтобы найти значения m, при которых прямая y=m имеет ровно три общие точки с графиком функции y=x^2 - |4x+3|, нужно рассмотреть различные случаи:

1. Если прямая y=m пересекает график функции y=x^2 - |4x+3| в трех точках, то она должна пересекать график функции дважды и иметь касание в одной точке.

2. Так как функция y=x^2 - |4x+3| имеет убывающий участок на интервале (-∞, -3/4) и возрастающий участок на интервале (-3/4, +∞), то прямая y=m должна пересекать график функции на этих интервалах.

3. Рассмотрим уравнение y=x^2 - |4x+3| = m. Решим его для случаев, когда m < 0, m = 0 и m > 0.

• Для m < 0 уравнение не имеет решений.
• Для m = 0 уравнение имеет два решения: x = -3/4 и x = 0.
• Для m > 0 уравнение имеет два решения на отрезке (-∞, -3/4) и одно решение на отрезке (-3/4, +∞).

Следовательно, значения m, при которых прямая y=m имеет ровно три общие точки с графиком функции y=x^2 - |4x+3|, это m = 0.