Постройте график функции y=x^2+4x-5. С помощью графика определите:
а) значение функции при x=-3; 0; 1;
б) значение аргумента, если y=-8; -5; 0;
в) наименьшее значение функции;
г) промежутки возрастания и убывания функции;
д) значение аргумента, при которых y>0, y
Для начала построим график функции ( y = x^2 + 4x - 5 ). Это парабола, где коэффициент при ( x^2 ) положителен, значит ветви параболы направлены вверх.
Шаг 1: Найдем вершину параболы. Формула для координат вершины параболы ( y = ax^2 + bx + c ) имеет вид: [ x_0 = -\frac{b}{2a}, ] [ y_0 = y(x_0). ] Подставим значения: [ a = 1, \; b = 4, \; c = -5, ] [ x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2, ] [ y_0 = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9. ] Таким образом, вершина параболы находится в точке ((-2, -9)).
Шаг 2: Найдем нули функции. Решим уравнение ( x^2 + 4x - 5 = 0 ) через дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = 16 + 20 = 36, ] [ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 6}{2} = -5, ] [ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 6}{2} = 1. ] Функция пересекает ось абсцисс в точках ((-5, 0)) и ((1, 0)).
а) Значение функции при x = -3; 0; 1: [ y(-3) = (-3)^2 + 4 \cdot (-3) - 5 = 9 - 12 - 5 = -8, ] [ y(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 - 5 = -5, ] [ y(1) = 1^2 + 4 \cdot 1 - 5 = 0. ]
б) Значение аргумента, если y = -8; -5; 0: [ y = -8 \Rightarrow x = -3, ] [ y = -5 \Rightarrow x = 0, ] [ y = 0 \Rightarrow x = -5 \text{ или } x = 1. ]
в) Наименьшее значение функции: Наименьшее значение парабольной функции (y = x^2 + 4x - 5) достигается в вершине параболы, которая равна (-9).
г) Промежутки возрастания и убывания функции: Функция убывает на промежутке ((- \infty, -2]) и возрастает на промежутке ([-2, +\infty)).
д) Значение аргумента, при которых ( y > 0 ): Ясно, что ( y > 0 ) между точками пересечения с осью абсцисс, т.е. для ( x \in (-\infty, -5) \cup (1, +\infty) ).
=0, y<0.
а) Подставляем значения x в функцию:
б) Для нахождения значения аргумента, при котором y=-8, -5, 0, решаем уравнение: -8=x^2+4x-5 x^2+4x-3=0 Решаем квадратное уравнение, получаем x=-3 или x=-1 Аналогично для y=-5 и y=0 получаем x=-2 и x=1 соответственно.
в) Наименьшее значение функции можно найти либо из графика, либо по формуле вершины параболы: x=-b/(2a)=-4/(2)= -2, y=(-2)^2+4*(-2)-5 = -3
г) Функция возрастает на промежутке (-бесконечность;-2) и убывает на промежутке (-2;+бесконечность).
д) Для нахождения значений аргумента, при которых y>0, y=0, y<0, можем построить график и определить соответствующие промежутки на оси x.
