Постройте график функуции у=-х^2+2х В каждом случае укажите 1) Наибольшее или наименьшее значение функции...

Для построения графика функции ( y = -x^2 + 2x ), давайте рассмотрим каждый из пунктов подробно.

1. Наибольшее или наименьшее значение функции:

Функция ( y = -x^2 + 2x ) представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз (потому что коэффициент при ( x^2 ) отрицательный). Таким образом, у функции будет наибольшее значение в вершине параболы.

Для нахождения вершины параболы используем формулу для координаты вершины ( x = -\frac{b}{2a} ), где ( a = -1 ) и ( b = 2 ).

[ x = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1 ]

Теперь подставим ( x = 1 ) в уравнение функции, чтобы найти значение ( y ):

[ y = -(1)^2 + 2 \cdot 1 = -1 + 2 = 1 ]

Таким образом, наибольшее значение функции равно 1 и оно достигается при ( x = 1 ).

1. Промежутки возрастания или убывания функции:

Функция возрастает на промежутке, где производная положительна, и убывает на промежутке, где производная отрицательна.

Найдем производную функции: [ y' = -2x + 2 ]

Теперь найдем нули производной: [ -2x + 2 = 0 ] [ x = 1 ]

Производная меняет знак в точке ( x = 1 ). Для определения знака производной на промежутках исследуем значения производной в точках, меньших и больших 1:

• При ( x < 1 ), например, ( x = 0 ): [ y' = -2(0) + 2 = 2 ] (положительно, значит функция возрастает)

• При ( x > 1 ), например, ( x = 2 ): [ y' = -2(2) + 2 = -2 ] (отрицательно, значит функция убывает)

Таким образом, функция возрастает на промежутке ( (-\infty, 1) ) и убывает на промежутке ( (1, +\infty) ).

1. Нули функции:

Для нахождения нулей функции решим уравнение ( y = 0 ):

[ -x^2 + 2x = 0 ] [ x(-x + 2) = 0 ]

Отсюда получаем ( x = 0 ) и ( x = 2 ). Таким образом, нули функции находятся в точках ( x = 0 ) и ( x = 2 ).

1. Значения ( x ), при которых ( y > 0 ) и ( y < 0 ):

Для нахождения промежутков, на которых функция принимает положительные и отрицательные значения, рассмотрим знаки функции между найденными нулями.

Рассмотрим квадратичное неравенство ( -x^2 + 2x > 0 ):

[ -x^2 + 2x > 0 ] [ x(-x + 2) > 0 ]

Промежутки знакопостоянства определяются корнями ( x = 0 ) и ( x = 2 ):

• При ( x \in (0, 2) ), функция положительна (потому что внутри промежутка функции меняет знак на противоположный).
• При ( x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty) ), функция отрицательна.

Таким образом:

• ( y > 0 ) при ( x \in (0, 2) )
• ( y < 0 ) при ( x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty) )

Теперь, когда все промежутки и значения найдены, можно построить график функции ( y = -x^2 + 2x ). Это будет парабола с вершиной в точке ( (1, 1) ), пересекающая ось ( x ) в точках ( 0 ) и ( 2 ), возрастающая на промежутке ( (-\infty, 1) ) и убывающая на промежутке ( (1, +\infty) ).

1) Наибольшее значение функции: 1 2) Промежутки возрастания: (-бесконечность, 1), убывания: (1, +бесконечность) 3) Нули функции: 0, 2 4) y > 0 при 0 < x < 2, y < 0 при x < 0, x > 2

Для того чтобы построить график функции у=-х^2+2х, сначала найдем вершину параболы, которая задается этим уравнением. Вершина параболы имеет координаты (х₀, у₀), где х₀=-b/2a, а у₀=-D/4a, где D - дискриминант уравнения.

В данном случае у нас a=-1, b=2, c=0. Подставим их в формулы: х₀=-2/(2(-1))=1 D=2^2-4(-1)*0=4

Таким образом, вершина параболы имеет координаты (1, 1). Это наименьшее значение функции, так как у=-х^2+2х является параболой, которая открывается вниз.

Промежутки возрастания и убывания функции определяются знаками коэффициента при квадратичном члене (-1 в данном случае). Функция убывает на промежутке от минус бесконечности до х₀ и возрастает на промежутке от х₀ до плюс бесконечности.

Нули функции (точки пересечения с осью Х) находятся путем решения уравнения -х^2+2х=0. Это уравнение имеет два решения: x=0 и x=2. Следовательно, нули функции это точки (0,0) и (2,0).

Значения х, при которых у>0, у0 при х между 0 и 2, и у