Прямая y=-7x-9 является касательной к графику функций f(x)=4x^2+bx. Найдите b учитывая что абсцисса...

Чтобы найти значение b, необходимо найти точку касания прямой и графика функции f(x)=4x^2+bx. Поскольку прямая y=-7x-9 является касательной к графику функции f(x), их точка касания будет общей точкой.

Для начала найдем производную функции f(x)=4x^2+bx и приравняем ее к наклону касательной прямой -7: f'(x) = 8x + b Теперь найдем точку касания, подставив уравнение прямой y=-7x-9 в уравнение функции f(x): 4x^2+bx = -7x-9 4x^2 + (b+7)x + 9 = 0 Теперь, так как абсцисса точки касания больше 0, можно найти значение b, найдя значение x через дискриминант: D = (b+7)^2 - 449 D = b^2 + 14b + 49 - 144 D = b^2 + 14b - 95 D = 0 (b+19)(b-5) = 0 b = -19 или b = 5

Таким образом, значение b может быть либо -19, либо 5.

Для того чтобы прямая ( y = -7x - 9 ) была касательной к графику функции ( f(x) = 4x^2 + bx ), необходимо, чтобы выполнялись два условия:

1. Прямая и функция должны иметь общую точку, то есть система уравнений должна иметь решение: [ 4x^2 + bx = -7x - 9 ]

2. В этой точке касания значения производных функции и прямой должны быть равны, то есть: [ f'(x) = -7 ]

Решение

1. Найдем производную ( f(x) ):

   Производная функции ( f(x) = 4x^2 + bx ) равна: [ f'(x) = 8x + b ]

2. Равенство производных:

   Приравниваем производную функции к угловому коэффициенту касательной: [ 8x + b = -7 ]

3. Найдем точку касания:

   Подставим уравнение касательной в функцию: [ 4x^2 + bx = -7x - 9 ]

   Перепишем уравнение: [ 4x^2 + (b + 7)x + 9 = 0 ]

   Это квадратное уравнение должно иметь единственный корень, так как прямая касается параболы. Для этого дискриминант должен быть равен нулю: [ D = (b + 7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 0 ]

   Решим уравнение для ( b ): [ (b + 7)^2 = 144 ]

   [ b + 7 = \pm 12 ]

   Отсюда получаем два значения для ( b ): [ b + 7 = 12 \quad \Rightarrow \quad b = 5 ] [ b + 7 = -12 \quad \Rightarrow \quad b = -19 ]

4. Проверка условия для положительной абсциссы точки касания:

   Рассмотрим оба случая для ( b ):

   • Для ( b = 5 ): [ 8x + 5 = -7 \quad \Rightarrow \quad 8x = -12 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{3}{2} ]

     Этот корень отрицательный, поэтому не подходит.

   • Для ( b = -19 ): [ 8x - 19 = -7 \quad \Rightarrow \quad 8x = 12 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{2} ]

     Этот корень положительный, поэтому подходит.

Таким образом, значение параметра ( b ), при котором прямая является касательной к графику функции, и абсцисса точки касания больше 0, равно ( b = -19 ).