Представьте в виде дроби выражение 1/x$x+1$ + 1/$x+1$$x+2$+ .+1/$x+99$$x+100$ с объснениями пожалуйста

Для начала разложим каждое слагаемое на простейшие дроби. 1/$x(x+1$) = A/x + B/$x+1$, где A и B - некоторые числа. Умножим обе части на x$x+1$ и получим: 1 = A$x+1$ + Bx. Решим это уравнение, подставив x = 0 и x = -1: 1 = A + 0 => A = 1 1 = B - B => B = 1 Таким образом, 1/$x(x+1$) = 1/x + 1/$x+1$.

Аналогично, разложим 1/$x+1$$x+2$ = C/$x+1$ + D/$x+2$. Умножим обе части на $x+1$$x+2$ и получим: 1 = C$x+2$ + D$x+1$. Решим это уравнение, подставив x = -1 и x = -2: 1 = -C + D => D - C = 1 1 = -2C => C = -1/2, D = 1/2 Таким образом, 1/$x+1$$x+2$ = -1/2$x+1$ + 1/2$x+2$.

Повторяя этот процесс для каждого слагаемого, получим: 1/x$x+1$ = 1/x + 1/$x+1$ 1/$x+1$$x+2$ = -1/2$x+1$ + 1/2$x+2$ . 1/$x+99$$x+100$ = -1/2$x+99$ + 1/2$x+100$

Теперь сложим все полученные дроби: 1/x + 1/$x+1$ - 1/2$x+1$ + 1/2$x+2$ - . - 1/2$x+99$ + 1/2$x+100$

Сократим подобные дроби и получим ответ: 1/x + 1/2 - 1/2$x+1$ + 1/2$x+100$

Давайте рассмотрим выражение $\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\cdots +\frac{1}{(x+99)(x+100)}$.

Первым шагом будет разложение каждого дробного выражения на простейшие дроби. Для этого мы используем метод разложения на простейшие дроби. Рассмотрим общий член последовательности:

$\frac{1}{(x+k)(x+k+1)}$

Этот член можно разложить следующим образом:

$\frac{1}{(x+k)(x+k+1)}=\frac{A}{x+k}+\frac{B}{x+k+1}$

Уравняем правую и левую части:

$1=A(x+k+1)+B(x+k)$

Распишем выражение в правой части:

$1=A(x+k)+A+B(x+k)$ $1=(A+B)x+(Ak+A+Bk)$

Так как это тождество, коэффициенты при одинаковых степенях $x$ должны быть равны. Таким образом, у нас есть система уравнений:

$A+B=0$ $Ak+A+Bk=1$

Из первого уравнения $A+B=0$ следует, что $B=-A$.

Подставим $B=-A$ во второе уравнение:

$Ak+A-Ak=1$ $A=1$

Таким образом, $A=1$ и $B=-1$. Разложение будет следующим:

$\frac{1}{(x+k)(x+k+1)}=\frac{1}{x+k}-\frac{1}{x+k+1}$

Теперь вернемся к исходному выражению. Применим разложение к каждому члену суммы:

$\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\cdots +\frac{1}{(x+99)(x+100)}$

Становится:

$(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})+(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2})+\cdots +(\frac{1}{x+99}-\frac{1}{x+100})$

Все внутренние члены сокращаются:

$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+100}$

Таким образом, результатом будет:

$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+100}$

Это и есть окончательное представление исходного выражения в виде одной дроби.