Давайте рассмотрим выражение .
Первым шагом будет разложение каждого дробного выражения на простейшие дроби. Для этого мы используем метод разложения на простейшие дроби. Рассмотрим общий член последовательности:
Этот член можно разложить следующим образом:
Уравняем правую и левую части:
Распишем выражение в правой части:
Так как это тождество, коэффициенты при одинаковых степенях должны быть равны. Таким образом, у нас есть система уравнений:
Из первого уравнения следует, что .
Подставим во второе уравнение:
Таким образом, и . Разложение будет следующим:
Теперь вернемся к исходному выражению. Применим разложение к каждому члену суммы:
Становится:
Все внутренние члены сокращаются:
Таким образом, результатом будет:
Это и есть окончательное представление исходного выражения в виде одной дроби.