Представьте в виде дроби выражение 1/x(x+1) + 1/(x+1)(x+2)+ .+1/(x+99)(x+100) с объснениями пожалуйста

Для начала разложим каждое слагаемое на простейшие дроби. 1/(x(x+1)) = A/x + B/(x+1), где A и B - некоторые числа. Умножим обе части на x(x+1) и получим: 1 = A(x+1) + Bx. Решим это уравнение, подставив x = 0 и x = -1: 1 = A + 0 => A = 1 1 = B - B => B = 1 Таким образом, 1/(x(x+1)) = 1/x + 1/(x+1).

Аналогично, разложим 1/(x+1)(x+2) = C/(x+1) + D/(x+2). Умножим обе части на (x+1)(x+2) и получим: 1 = C(x+2) + D(x+1). Решим это уравнение, подставив x = -1 и x = -2: 1 = -C + D => D - C = 1 1 = -2C => C = -1/2, D = 1/2 Таким образом, 1/(x+1)(x+2) = -1/2(x+1) + 1/2(x+2).

Повторяя этот процесс для каждого слагаемого, получим: 1/x(x+1) = 1/x + 1/(x+1) 1/(x+1)(x+2) = -1/2(x+1) + 1/2(x+2) . 1/(x+99)(x+100) = -1/2(x+99) + 1/2(x+100)

Теперь сложим все полученные дроби: 1/x + 1/(x+1) - 1/2(x+1) + 1/2(x+2) - . - 1/2(x+99) + 1/2(x+100)

Сократим подобные дроби и получим ответ: 1/x + 1/2 - 1/2(x+1) + 1/2(x+100)

Давайте рассмотрим выражение ( \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \cdots + \frac{1}{(x+99)(x+100)} ).

Первым шагом будет разложение каждого дробного выражения на простейшие дроби. Для этого мы используем метод разложения на простейшие дроби. Рассмотрим общий член последовательности:

[ \frac{1}{(x+k)(x+k+1)} ]

Этот член можно разложить следующим образом:

[ \frac{1}{(x+k)(x+k+1)} = \frac{A}{x+k} + \frac{B}{x+k+1} ]

Уравняем правую и левую части:

[ 1 = A(x+k+1) + B(x+k) ]

Распишем выражение в правой части:

[ 1 = A(x+k) + A + B(x+k) ] [ 1 = (A+B)x + (Ak + A + Bk) ]

Так как это тождество, коэффициенты при одинаковых степенях ( x ) должны быть равны. Таким образом, у нас есть система уравнений:

[ A + B = 0 ] [ Ak + A + Bk = 1 ]

Из первого уравнения ( A + B = 0 ) следует, что ( B = -A ).

Подставим ( B = -A ) во второе уравнение:

[ Ak + A - Ak = 1 ] [ A = 1 ]

Таким образом, ( A = 1 ) и ( B = -1 ). Разложение будет следующим:

[ \frac{1}{(x+k)(x+k+1)} = \frac{1}{x+k} - \frac{1}{x+k+1} ]

Теперь вернемся к исходному выражению. Применим разложение к каждому члену суммы:

[ \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \cdots + \frac{1}{(x+99)(x+100)} ]

Становится:

[ \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} \right) + \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{x+99} - \frac{1}{x+100} \right) ]

Все внутренние члены сокращаются:

[ \frac{1}{x} - \frac{1}{x+100} ]

Таким образом, результатом будет:

[ \frac{1}{x} - \frac{1}{x+100} ]

Это и есть окончательное представление исходного выражения в виде одной дроби.