Представьте в виде дроби выражение 1/xx+1 + 1/x+1x+2+ .+1/x+99x+100 с объснениями пожалуйста

Тематика Алгебра
Уровень 10 - 11 классы
математика дроби алгебра выражения преобразование упрощение дробные выражения формулы
0

Представьте в виде дроби выражение 1/xx+1 + 1/x+1x+2+ .+1/x+99x+100 с объснениями пожалуйста

avatar
задан 6 месяцев назад

2 Ответа

0

Для начала разложим каждое слагаемое на простейшие дроби. 1/x(x+1) = A/x + B/x+1, где A и B - некоторые числа. Умножим обе части на xx+1 и получим: 1 = Ax+1 + Bx. Решим это уравнение, подставив x = 0 и x = -1: 1 = A + 0 => A = 1 1 = B - B => B = 1 Таким образом, 1/x(x+1) = 1/x + 1/x+1.

Аналогично, разложим 1/x+1x+2 = C/x+1 + D/x+2. Умножим обе части на x+1x+2 и получим: 1 = Cx+2 + Dx+1. Решим это уравнение, подставив x = -1 и x = -2: 1 = -C + D => D - C = 1 1 = -2C => C = -1/2, D = 1/2 Таким образом, 1/x+1x+2 = -1/2x+1 + 1/2x+2.

Повторяя этот процесс для каждого слагаемого, получим: 1/xx+1 = 1/x + 1/x+1 1/x+1x+2 = -1/2x+1 + 1/2x+2 . 1/x+99x+100 = -1/2x+99 + 1/2x+100

Теперь сложим все полученные дроби: 1/x + 1/x+1 - 1/2x+1 + 1/2x+2 - . - 1/2x+99 + 1/2x+100

Сократим подобные дроби и получим ответ: 1/x + 1/2 - 1/2x+1 + 1/2x+100

avatar
ответил 6 месяцев назад
0

Давайте рассмотрим выражение 1x(x+1)+1(x+1)(x+2)++1(x+99)(x+100).

Первым шагом будет разложение каждого дробного выражения на простейшие дроби. Для этого мы используем метод разложения на простейшие дроби. Рассмотрим общий член последовательности:

1(x+k)(x+k+1)

Этот член можно разложить следующим образом:

1(x+k)(x+k+1)=Ax+k+Bx+k+1

Уравняем правую и левую части:

1=A(x+k+1)+B(x+k)

Распишем выражение в правой части:

1=A(x+k)+A+B(x+k) 1=(A+B)x+(Ak+A+Bk)

Так как это тождество, коэффициенты при одинаковых степенях x должны быть равны. Таким образом, у нас есть система уравнений:

A+B=0 Ak+A+Bk=1

Из первого уравнения A+B=0 следует, что B=A.

Подставим B=A во второе уравнение:

Ak+AAk=1 A=1

Таким образом, A=1 и B=1. Разложение будет следующим:

1(x+k)(x+k+1)=1x+k1x+k+1

Теперь вернемся к исходному выражению. Применим разложение к каждому члену суммы:

1x(x+1)+1(x+1)(x+2)++1(x+99)(x+100)

Становится:

(1x1x+1)+(1x+11x+2)++(1x+991x+100)

Все внутренние члены сокращаются:

1x1x+100

Таким образом, результатом будет:

1x1x+100

Это и есть окончательное представление исходного выражения в виде одной дроби.

avatar
ответил 6 месяцев назад

Ваш ответ

Вопросы по теме

Упростите выражение x-x/x+1
11 месяцев назад Vikikikijijiji