При каких значениях a уравнение ax=2a-1 а) не имеет корней б) имеет единственный корень в) имеет бесконечно много корней?
При каких значениях a уравнение ax=2a-1 а) не имеет корней б) имеет единственный корень в) имеет бесконечно много корней?
Рассмотрим уравнение ( ax = 2a - 1 ).
Для того чтобы понять, при каких значениях ( a ) уравнение имеет определенные свойства (не имеет корней, имеет единственный корень или имеет бесконечно много корней), нужно рассмотреть несколько случаев.
Уравнение не имеет корней, если для него не существует значений ( x ), которые удовлетворяют его. Рассмотрим уравнение:
[ ax = 2a - 1 ]
Если ( a = 0 ), то уравнение принимает вид:
[ 0 \cdot x = -1 ]
Эта запись означает, что 0 умноженное на любое ( x ) равно -1, что невозможно. Следовательно, при ( a = 0 ) уравнение не имеет корней.
Уравнение имеет единственный корень, если оно имеет решение для какого-то определенного значения ( x ). Предположим, что ( a \neq 0 ). Тогда мы можем разделить обе части уравнения на ( a ):
[ x = \frac{2a - 1}{a} ]
или
[ x = 2 - \frac{1}{a} ]
При этом ( a ) не должно быть равно нулю, так как при ( a = 0 ) уравнение не имеет смысла (как рассмотрено в предыдущем пункте). Таким образом, при ( a \neq 0 ) уравнение имеет единственный корень, который равен ( 2 - \frac{1}{a} ).
Уравнение имеет бесконечно много корней только в случае, если оно тождественно истинно для любого значения ( x ). Это возможно, если левая и правая части уравнения представляют собой одну и ту же функцию от ( x ). Рассмотрим уравнение:
[ ax = 2a - 1 ]
Для того чтобы уравнение было тождественно истинным для любого ( x ), необходимо, чтобы коэффициент при ( x ) в левой части и свободный член в правой части были равны нулю. То есть:
[ a = 0 \quad \text{и} \quad 2a - 1 = 0 ]
Однако, если ( a = 0 ), то ( 2a - 1 = -1 \neq 0 ). Таким образом, нет значений ( a ), при которых уравнение ( ax = 2a - 1 ) было бы истинно для всех ( x ). Следовательно, уравнение никогда не имеет бесконечно много корней.
Для уравнения ax = 2a - 1 можно выделить три случая в зависимости от значений параметра a:
а) Не имеет корней: Если a = 0, то уравнение примет вид 0 = -1, что является противоречием. Значит, при a = 0 уравнение не имеет корней.
б) Единственный корень: Если a ≠ 0, то можно сократить обе части уравнения на a и получить x = 2 - 1/a. Таким образом, уравнение имеет единственный корень при любом значении a, кроме a = 0.
в) Бесконечно много корней: Если a = 1/2, то уравнение примет вид (1/2)x = 2(1/2) - 1, то есть x = 0. При этом любое значение a ≠ 1/2 приведет к уравнению с единственным корнем. Следовательно, уравнение имеет бесконечно много корней только при a = 1/2.
а) Не имеет корней при a=0 б) Имеет единственный корень при a≠0 в) Имеет бесконечно много корней при a=1
