При каких значениях х √ 3х²- 19х+6 имеет смысл .Корень квадратный из всего уравнения. подробное решение.

Чтобы определить, при каких значениях ( x ) выражение (\sqrt{3x^2 - 19x + 6}) имеет смысл, необходимо, чтобы подкоренное выражение ( 3x^2 - 19x + 6 ) было неотрицательным. То есть, нужно решить неравенство:

[ 3x^2 - 19x + 6 \geq 0. ]

Для решения этого квадратного неравенства, первым шагом найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

[ 3x^2 - 19x + 6 = 0. ]

Используем формулу для решения квадратного уравнения:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ]

где ( a = 3 ), ( b = -19 ), ( c = 6 ).

Сначала найдем дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \times 3 \times 6 = 361 - 72 = 289. ]

Теперь найдем корни:

[ x_{1,2} = \frac{19 \pm \sqrt{289}}{6}. ]

Так как (\sqrt{289} = 17), получаем:

[ x_1 = \frac{19 + 17}{6} = \frac{36}{6} = 6, ]

[ x_2 = \frac{19 - 17}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}. ]

Теперь у нас есть корни ( x_1 = 6 ) и ( x_2 = \frac{1}{3} ). Они делят числовую ось на интервалы. Исследуем знаки выражения ( 3x^2 - 19x + 6 ) на этих интервалах:

1. ( x < \frac{1}{3} ),
2. ( \frac{1}{3} < x < 6 ),
3. ( x > 6 ).

Для удобства подставим значения из каждого интервала в выражение ( 3x^2 - 19x + 6 ):

1. Для интервала ( x < \frac{1}{3} ), подставим ( x = 0 ): [ 3(0)^2 - 19(0) + 6 = 6 > 0. ]

2. Для интервала ( \frac{1}{3} < x < 6 ), подставим ( x = 1 ): [ 3(1)^2 - 19(1) + 6 = 3 - 19 + 6 = -10 < 0. ]

3. Для интервала ( x > 6 ), подставим ( x = 7 ): [ 3(7)^2 - 19(7) + 6 = 147 - 133 + 6 = 20 > 0. ]

Таким образом, выражение ( 3x^2 - 19x + 6 \geq 0 ) на интервалах ( (-\infty, \frac{1}{3}] \cup [6, \infty) ).

Следовательно, (\sqrt{3x^2 - 19x + 6}) имеет смысл при ( x \in (-\infty, \frac{1}{3}] \cup [6, \infty) ).

Для того чтобы выражение √(3х² - 19х + 6) имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. То есть:

3х² - 19х + 6 ≥ 0

Для решения неравенства найдем корни квадратного уравнения 3х² - 19х + 6 = 0. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

D = (-19)² - 4 3 6 = 361 - 72 = 289

Таким образом, D > 0, значит уравнение имеет два корня:

х₁ = (19 + √289) / 6 = 5 х₂ = (19 - √289) / 6 = 2/3

Из корней видно, что выражение √(3х² - 19х + 6) имеет смысл при x ∈ [2/3, 5].