При каких значениях х имеет смысл выражение: всё под корнем (8-x)(7-3x)

Для того чтобы выражение (\sqrt{(8-x)(7-3x)}) имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. То есть:

[ (8 - x)(7 - 3x) \geq 0 ]

Рассмотрим произведение двух множителей: (8 - x) и (7 - 3x). Для того чтобы произведение было неотрицательным, оба множителя должны быть либо положительными, либо отрицательными одновременно.

1. Найдем нули каждого из множителей:

   (8 - x = 0 \Rightarrow x = 8)

   (7 - 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{7}{3})

Эти значения разбивают числовую ось на интервалы. Рассмотрим интервалы:

• ( (-\infty, \frac{7}{3}) )
• ( (\frac{7}{3}, 8) )
• ( (8, +\infty) )

Теперь определим знаки выражений в каждом из интервалов.

1. Проверка знаков на интервалах:

• Интервал ( (-\infty, \frac{7}{3}) ):

  Пусть ( x = 0 ) (выберем точку внутри интервала):

  (8 - 0 = 8) (положительное)

  (7 - 3 \cdot 0 = 7) (положительное)

  Произведение положительных чисел положительное: ((8 - x)(7 - 3x) > 0).

• Интервал ( (\frac{7}{3}, 8) ):

  Пусть ( x = 3 ) (выберем точку внутри интервала):

  (8 - 3 = 5) (положительное)

  (7 - 3 \cdot 3 = 7 - 9 = -2) (отрицательное)

  Произведение положительного и отрицательного числа отрицательное: ((8 - x)(7 - 3x) < 0).

• Интервал ( (8, +\infty) ):

  Пусть ( x = 9 ) (выберем точку внутри интервала):

  (8 - 9 = -1) (отрицательное)

  (7 - 3 \cdot 9 = 7 - 27 = -20) (отрицательное)

  Произведение отрицательных чисел положительное: ((8 - x)(7 - 3x) > 0).

1. Проверим значения на границах интервалов:

• При ( x = \frac{7}{3} ):

  ( (8 - \frac{7}{3})(7 - 3 \cdot \frac{7}{3}) = (8 - \frac{7}{3})(7 - 7) = \frac{17}{3} \cdot 0 = 0 )

• При ( x = 8 ):

  ( (8 - 8)(7 - 3 \cdot 8) = 0 \cdot (-17) = 0 )

Итак, выражение (\sqrt{(8-x)(7-3x)}) имеет смысл при ( (8 - x)(7 - 3x) \geq 0 ). Это соответствует следующим интервалам:

[ x \in \left(-\infty, \frac{7}{3} \right] \cup [8, +\infty) ]

Таким образом, для того чтобы выражение имело смысл, ( x ) должен принадлежать интервалам (\left(-\infty, \frac{7}{3} \right]) или ([8, +\infty)).

Для того чтобы выражение имело смысл, необходимо, чтобы значение выражения под корнем было неотрицательным числом. То есть:

(8-x)(7-3x) ≥ 0

Чтобы найти значения х, при которых это неравенство выполняется, нужно рассмотреть все возможные варианты разбиения числовой прямой на интервалы, в которых неравенство будет выполняться.

Для этого можно использовать метод знаков, который заключается в том, что мы исследуем знаки выражения (8-x)(7-3x) на каждом из интервалов числовой прямой, определяемых корнями уравнения (8-x)(7-3x) = 0.

Корни уравнения (8-x)(7-3x) = 0 равны x = 8 и x = 7/3.

Теперь можем рассмотреть знаки выражения (8-x)(7-3x) на каждом из интервалов, образованных корнями уравнения:

1) x < 7/3 2) 7/3 < x < 8 3) x > 8

Проверим знаки выражения (8-x)(7-3x) на каждом из этих интервалов, подставив в него произвольное значение из интервала:

1) При x = 0: (8-0)(7-30) = 87 > 0 2) При x = 2: (8-2)(7-32) = 61 < 0 3) При x = 9: (8-9)(7-39) = -1(-20) > 0

Таким образом, выражение (8-x)(7-3x) имеет смысл при x < 7/3 и x > 8.

Выражение имеет смысл при значениях х, для которых (8-x) и (7-3x) больше или равны нулю.