При каких значениях m уравнение 3х в квадрате +mx+3=0 имеет два корня?

Чтобы определить, при каких значениях параметра ( m ) уравнение ( 3x^2 + mx + 3 = 0 ) имеет два корня, необходимо проанализировать дискриминант данного квадратного уравнения.

Общее уравнение квадратного уравнения имеет вид ( ax^2 + bx + c = 0 ), где ( a ), ( b ) и ( c ) — коэффициенты. В нашем случае:

• ( a = 3 )
• ( b = m )
• ( c = 3 )

Дискриминант ( D ) квадратного уравнения рассчитывается по формуле: [ D = b^2 - 4ac ]

Подставим наши значения коэффициентов в формулу для дискриминанта: [ D = m^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = m^2 - 36 ]

Уравнение ( 3x^2 + mx + 3 = 0 ) будет иметь два различных корня, если дискриминант положителен: [ D > 0 ] Это условие можно записать как: [ m^2 - 36 > 0 ]

Теперь решим неравенство:

1. Перепишем его в виде: [ m^2 > 36 ]
2. Извлечем корень: [ |m| > 6 ]

Это неравенство делит числовую прямую на три интервала:

1. ( m < -6 )
2. ( -6 < m < 6 )
3. ( m > 6 )

Таким образом, уравнение ( 3x^2 + mx + 3 = 0 ) будет иметь два различных корня при следующих значениях ( m ): [ m < -6 \quad \text{или} \quad m > 6 ]

В заключение, чтобы уравнение имело два корня, параметр ( m ) должен находиться вне интервала ([-6, 6]).

Чтобы определить, при каких значениях параметра ( m ) квадратное уравнение ( 3x^2 + mx + 3 = 0 ) имеет два корня, нужно рассмотреть дискриминант этого уравнения.

Шаг 1: Формула дискриминанта

Для квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ), дискриминант ( D ) определяется по формуле: [ D = b^2 - 4ac ] В нашем случае: [ a = 3, \, b = m, \, c = 3 ] Тогда: [ D = m^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = m^2 - 36 ]

Шаг 2: Условие наличия двух корней

Чтобы квадратное уравнение имело два различных корня, дискриминант должен быть строго больше нуля: [ D > 0 ] Подставляем выражение для ( D ): [ m^2 - 36 > 0 ]

Шаг 3: Решение неравенства

Рассмотрим неравенство ( m^2 - 36 > 0 ): [ m^2 > 36 ] Теперь найдём значения ( m ). Для этого извлекаем квадратный корень из обеих частей неравенства: [ |m| > 6 ] Это неравенство означает, что ( m ) находится за пределами отрезка от (-6) до (6). Таким образом: [ m < -6 \quad \text{или} \quad m > 6 ]

Шаг 4: Ответ

Квадратное уравнение ( 3x^2 + mx + 3 = 0 ) имеет два различных корня, если ( m ) принимает значения: [ m \in (-\infty, -6) \cup (6, +\infty) ]

Дополнительное объяснение:

• Если ( m^2 = 36 ) (то есть ( m = 6 ) или ( m = -6 )), дискриминант становится равным нулю (( D = 0 )), а уравнение имеет один корень (два совпадающих корня).
• Если ( -6 < m < 6 ), то ( D < 0 ), и уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, для двух различных корней ( m ) должен быть строго меньше (-6) или строго больше ( 6 ).