При каких значениях n уравнение 2x^2 + nx + 8 = 0 не имеет корней? p.s. решите пожалуйста методом интервалов...

Уравнение (2x^2 + nx + 8 = 0) не имеет корней, если его дискриминант меньше нуля. Дискриминант для данного уравнения равен:

[ D = n^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = n^2 - 64. ]

Чтобы уравнение не имело корней, необходимо, чтобы дискриминант был отрицательным:

[ n^2 - 64 < 0. ]

Решим неравенство:

[ n^2 < 64. ]

Это неравенство выполняется при:

[ -8 < n < 8. ]

Таким образом, уравнение (2x^2 + nx + 8 = 0) не имеет корней при значениях (n) в интервале ((-8, 8)).

Для того чтобы определить, при каких значения n уравнение (2x^2 + nx + 8 = 0) не имеет корней, нужно рассмотреть дискриминант. Уравнение не будет иметь действительных корней, если дискриминант меньше нуля.

Дискриминант уравнения (ax^2 + bx + c = 0) вычисляется по формуле:

[ D = b^2 - 4ac ]

В нашем случае:

• (a = 2)
• (b = n)
• (c = 8)

Следовательно, дискриминант будет равен:

[ D = n^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = n^2 - 64 ]

Чтобы уравнение не имело корней, необходимо, чтобы дискриминант был отрицательным:

[ n^2 - 64 < 0 ]

Решим неравенство:

1. Переносим 64 в правую часть:

[ n^2 < 64 ]

1. Извлекаем корень из обеих сторон, учитывая, что при извлечении корня из неравенства необходимо учитывать знак:

[ -\sqrt{64} < n < \sqrt{64} ]

Так как (\sqrt{64} = 8), мы имеем:

[ -8 < n < 8 ]

Таким образом, уравнение (2x^2 + nx + 8 = 0) не имеет корней при значениях (n), удовлетворяющих условию:

[ n \in (-8, 8) ]

Эти значения n обеспечивают отрицательный дискриминант, что указывает на отсутствие действительных корней у данного квадратного уравнения.

Рассмотрим уравнение:

[ 2x^2 + nx + 8 = 0. ]

Чтобы это квадратное уравнение не имело корней, его дискриминант должен быть отрицательным. Напомним формулу дискриминанта квадратного уравнения вида ( ax^2 + bx + c = 0 ):

[ D = b^2 - 4ac. ]

В нашем случае коэффициенты: [ a = 2, \quad b = n, \quad c = 8. ]

Подставляем их в формулу дискриминанта:

[ D = n^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = n^2 - 64. ]

Уравнение не имеет корней, если ( D < 0 ). То есть:

[ n^2 - 64 < 0. ]

Теперь решим это неравенство методом интервалов.

1. Преобразуем неравенство

[ n^2 - 64 < 0 \quad \Rightarrow \quad (n - 8)(n + 8) < 0. ]

Получили произведение двух множителей, которое должно быть меньше нуля. Решим это неравенство методом интервалов.

2. Найдем нули выражения

Решим уравнение ( (n - 8)(n + 8) = 0 ): [ n - 8 = 0 \quad \Rightarrow \quad n = 8, ] [ n + 8 = 0 \quad \Rightarrow \quad n = -8. ]

Таким образом, критические точки: ( n = -8 ) и ( n = 8 ).

3. Разделим числовую прямую

На числовой прямой отметим точки ( n = -8 ) и ( n = 8 ), которые разбивают её на три интервала: [ (-\infty, -8), \quad (-8, 8), \quad (8, +\infty). ]

4. Определим знак на каждом интервале

Проанализируем знак выражения ( (n - 8)(n + 8) ) на каждом из интервалов. Для этого берем тестовые точки из каждого интервала:

• На интервале ( (-\infty, -8) ), например, ( n = -10 ): [ (n - 8)(n + 8) = (-10 - 8)(-10 + 8) = (-18)(-2) = 36 > 0. ]

• На интервале ( (-8, 8) ), например, ( n = 0 ): [ (n - 8)(n + 8) = (0 - 8)(0 + 8) = (-8)(8) = -64 < 0. ]

• На интервале ( (8, +\infty) ), например, ( n = 10 ): [ (n - 8)(n + 8) = (10 - 8)(10 + 8) = (2)(18) = 36 > 0. ]

5. Решение неравенства

Нам нужно, чтобы ( (n - 8)(n + 8) < 0 ). Это выполняется на интервале, где произведение отрицательно. Из анализа видно, что это интервал:

[ n \in (-8, 8). ]

6. Ответ

Квадратное уравнение ( 2x^2 + nx + 8 = 0 ) не имеет корней, если:

[ n \in (-8, 8). ]