При каком значении a уравнение (a^2-4)x = a^2 + 5a + 6 имеет бесконечно много решений

Для того чтобы уравнение имело бесконечно много решений, необходимо чтобы выражение в левой части равнялось нулю при любом значении x.

Уравнение (a^2-4)x = a^2 + 5a + 6 имеет бесконечно много решений при a = 2, так как в этом случае a^2 - 4 = 0, то есть левая часть уравнения равна нулю для любого x.

Таким образом, при a = 2 уравнение будет иметь бесконечно много решений.

Уравнение ( (a^2 - 4)x = a^2 + 5a + 6 ) будет иметь бесконечно много решений в том случае, если оно является тождеством, то есть левая и правая части уравнения должны быть равны для любого значения переменной ( x ).

Для этого необходимо, чтобы коэффициент при ( x ) был равен нулю, а свободный член также должен быть равен нулю. Таким образом, у нас есть две условия:

1. ( a^2 - 4 = 0 )
2. ( a^2 + 5a + 6 = 0 )

Решим эти уравнения по отдельности.

1. Уравнение ( a^2 - 4 = 0 ) можно решить как [ a^2 = 4 \implies a = \pm 2 ]

2. Уравнение ( a^2 + 5a + 6 = 0 ) решается через разложение на множители: [ a^2 + 5a + 6 = (a + 2)(a + 3) = 0 ] Отсюда получаем ( a = -2 ) или ( a = -3 ).

Теперь найдем такое значение ( a ), которое удовлетворяет обоим условиям:

• Из первого уравнения у нас есть ( a = \pm 2 ).
• Из второго уравнения у нас есть ( a = -2 ) или ( a = -3 ).

Общим решением, которое удовлетворяет обоим уравнениям, является ( a = -2 ).

Таким образом, уравнение ( (a^2 - 4)x = a^2 + 5a + 6 ) имеет бесконечно много решений при ( a = -2 ).