При каком значении параметра a, функция y=-x^2+ax+1 возрастает на промежутке (-бесконечность ;-1] и...

Функция y=-x^2+ax+1 возрастает на промежутке (-бесконечность ;-1] и убывает на [-1;+ бесконечность), если при этом значениях параметра a удовлетворяют следующим условиям:

1. Функция возрастает на промежутке (-бесконечность ;-1], значит производная функции больше нуля на данном интервале. Производная функции y'=-2x+a. Для интервала (-бесконечность ;-1] производная должна быть положительной, т.е. -2x+a > 0 при x из (-бесконечность ;-1]. Подставив минимальное значение x=-1, получаем -2*(-1)+a > 0, откуда a > 2.
2. Функция убывает на интервале [-1;+ бесконечность), значит производная функции меньше нуля на данном интервале. Производная функции y'=-2x+a. Для интервала [-1;+ бесконечность) производная должна быть отрицательной, т.е. -2x+a < 0 при x из [-1;+ бесконечность). Подставив максимальное значение x=-1, получаем -2*(-1)+a < 0, откуда a < 2.

Итак, функция y=-x^2+ax+1 возрастает на промежутке (-бесконечность ;-1] и убывает на [-1;+ бесконечность) при значениях параметра a из интервала (2; 2).

Для того чтобы определить значение параметра (a), при котором функция (y = -x^2 + ax + 1) возрастает на промежутке ((-\infty; -1]) и убывает на промежутке ([-1; +\infty)), необходимо рассмотреть свойства квадратичной функции и анализировать её производную.

1. Определение экстремума функции: Квадратичная функция вида (y = -x^2 + ax + 1) имеет вершину, координаты которой можно найти с помощью формулы для абсциссы вершины параболы (x = -\frac{b}{2a}). В данном случае, коэффициенты при (x^2) и (x) равны (-1) и (a) соответственно: [ x_{\text{вершины}} = -\frac{a}{2 \cdot (-1)} = \frac{a}{2}. ] Нам нужно, чтобы вершина параболы находилась в точке (x = -1). Это условие можно записать как: [ \frac{a}{2} = -1. ]

2. Решение уравнения: Решим это уравнение для параметра (a): [ \frac{a}{2} = -1 \implies a = -2. ]

3. Проверка условий возрастания и убывания: Подставим найденное значение (a = -2) в исходное уравнение функции: [ y = -x^2 - 2x + 1. ] Найдем производную этой функции: [ y' = \frac{d}{dx}(-x^2 - 2x + 1) = -2x - 2. ] Анализируем знак производной:

   • Для (x < -1): [ y' = -2x - 2 > 0 \quad \text{(функция возрастает, так как производная положительна)}. ]
   • Для (x > -1): [ y' = -2x - 2 < 0 \quad \text{(функция убывает, так как производная отрицательна)}. ]

Таким образом, при значении параметра (a = -2), функция (y = -x^2 + ax + 1) действительно возрастает на промежутке ((-\infty; -1]) и убывает на промежутке ([-1; +\infty)).

Функция y=-x^2+ax+1 возрастает на промежутке (-бесконечность ;-1] и убывает на [-1;+ бесконечность) при a > -2.