Приведи пример двух иррациональных чисел, сумма которых — иррациональное число. Выбери один вариант...

Для того чтобы найти пример двух иррациональных чисел, сумма которых также является иррациональным числом, нужно рассмотреть предложенные варианты.

1. 0,7 и √21:

   • 0,7 — это рациональное число, следовательно, это не подходит.

2. 8 и √8 + √21:

   • 8 — это рациональное число, следовательно, это также не подходит.

3. 7 + √11 и 7 − √11:

   • Эти числа являются иррациональными, так как √11 — это иррациональное число. Теперь найдем их сумму: [ (7 + \sqrt{11}) + (7 - \sqrt{11}) = 7 + \sqrt{11} + 7 - \sqrt{11} = 14 ] 14 — это рациональное число, следовательно, этот вариант не подходит.

4. √7 и √11:

   • Оба числа иррациональны. Найдем их сумму: [ \sqrt{7} + \sqrt{11} ] Чтобы определить, является ли эта сумма иррациональной, рассмотрим возможность представления её в виде рационального числа. Если предположить, что (\sqrt{7} + \sqrt{11} = r), где (r) — рациональное число, то можно вывести, что (\sqrt{7} = r - \sqrt{11}) и возвести обе стороны в квадрат: [ 7 = (r - \sqrt{11})^2 = r^2 - 2r\sqrt{11} + 11 ] Отсюда получаем: [ 7 - 11 = r^2 - 2r\sqrt{11} \quad \Rightarrow \quad -4 = r^2 - 2r\sqrt{11} ] Это уравнение не может быть выполнено для рационального (r), так как левая часть уравнения — это -4, а правая часть включает иррациональное слагаемое (2r\sqrt{11}). Следовательно, сумма (\sqrt{7} + \sqrt{11}) является иррациональной.

Таким образом, правильный ответ — 4) √7 и √11.

Правильный ответ: 3) 7 + √11 и 7 − √11.

Сумма этих чисел равна (7 + √11) + (7 − √11) = 14, что является рациональным числом. Извините за путаницу, сумма этих чисел — рациональная.

Если нужно привести пример, то можно взять, например, √2 и -√2. Их сумма будет равна 0, что также рационально.

Если же рассматривать вариант с иррациональными числами, то можно взять 1 и √2, тогда их сумма 1 + √2 будет иррациональной.

Давайте разберем предложенные варианты и найдем пример двух иррациональных чисел, сумма которых остается иррациональной.

Напомним:

• Иррациональное число — это число, которое нельзя выразить в виде дроби ( \frac{p}{q} ), где ( p ) и ( q ) — целые числа, а ( q \neq 0 ). Примеры иррациональных чисел: ( \sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi, e ).
• Сумма двух иррациональных чисел может быть как иррациональной, так и рациональной. Всё зависит от конкретных чисел.

Теперь проверим каждый из предложенных вариантов:

Вариант 1: ( 0.7 ) и ( \sqrt{21} )

• ( 0.7 ) — это рациональное число, так как его можно записать как ( \frac{7}{10} ).
• ( \sqrt{21} ) — это иррациональное число, так как 21 не является точным квадратом какого-либо целого числа.
• Сумма ( 0.7 + \sqrt{21} ) будет иррациональной, так как сложение рационального и иррационального числа всегда даёт иррациональное число.
  Но это не подходит, так как по условию оба числа должны быть иррациональными.

Вариант 2: ( 8 ) и ( \sqrt{8} + \sqrt{21} )

• ( 8 ) — это рациональное число.
• ( \sqrt{8} + \sqrt{21} ) — это иррациональное число (сумма двух иррациональных чисел, которые не "компенсируют" друг друга).
  Но ( 8 + (\sqrt{8} + \sqrt{21}) ) снова не подходит, так как одно из чисел (( 8 )) рациональное.

Вариант 3: ( 7+\sqrt{11} ) и ( 7-\sqrt{11} )

• ( 7+\sqrt{11} ) — это иррациональное число, так как оно состоит из рационального числа 7 и иррационального ( \sqrt{11} ).
• ( 7-\sqrt{11} ) — это тоже иррациональное число по аналогичной причине.
• Сумма:
  [ (7+\sqrt{11}) + (7-\sqrt{11}) = 7 + 7 + \sqrt{11} - \sqrt{11} = 14 ]
  Результат — ( 14 ), это рациональное число.
  Этот вариант не подходит, так как сумма должна быть иррациональной.

Вариант 4: ( \sqrt{7} ) и ( \sqrt{11} )

• ( \sqrt{7} ) — это иррациональное число, так как 7 не является точным квадратом.
• ( \sqrt{11} ) — это также иррациональное число, так как 11 не является точным квадратом.
• Сумма:
  [ \sqrt{7} + \sqrt{11} ]
  Эта сумма будет иррациональной, так как нет никакой "компенсации" между этими числами (например, их разности или корней, которые могли бы дать рациональный результат).

Этот вариант подходит!

Ответ:

Правильный вариант — 4) ( \sqrt{7} ) и ( \sqrt{11} ).
Сумма двух иррациональных чисел (( \sqrt{7} + \sqrt{11} )) остаётся иррациональной.