Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю: а)2c/c+d и 3d/d-c б)5t/t^2-25 и t+5/(t-5)^2

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, необходимо найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) для каждой пары дробей. Рассмотрим каждую из указанных пар.

а) Дроби: (\frac{2c}{c+d}) и (\frac{3d}{d-c}).

Здесь знаменатели (c+d) и (d-c) не имеют общих множителей, и они не являются простыми выражениями, которые можно легко упростить. Однако, можно заметить, что (d-c) является противоположностью (c-d). Это означает, что для получения общего знаменателя нам следует воспользоваться этим свойством.

1. Приведение знаменателей к противоположным выражениям:

   • Заменим (d-c) на (-(c-d)), чтобы легче было работать с противоположными знаками.
   • Тогда вторая дробь станет (-\frac{3d}{c-d}).

2. Наименьший общий знаменатель:

   • НОЗ = ((c+d)(c-d)).

3. Приведение дробей:

   • Первая дробь: (\frac{2c}{c+d}) умножаем на (\frac{c-d}{c-d}), получаем (\frac{2c(c-d)}{(c+d)(c-d)}).
   • Вторая дробь: (-\frac{3d}{c-d}) умножаем на (\frac{c+d}{c+d}), получаем (-\frac{3d(c+d)}{(c+d)(c-d)}).

Теперь обе дроби имеют общий знаменатель ((c+d)(c-d)).

[ \frac{2c(c-d)}{(c+d)(c-d)} - \frac{3d(c+d)}{(c+d)(c-d)} ]

б) Дроби: (\frac{5t}{t^2-25}) и (\frac{t+5}{(t-5)^2}).

1. Разложение знаменателей на множители:

   • (t^2-25) является разностью квадратов, и его можно разложить как ((t-5)(t+5)).
   • ((t-5)^2) уже в разложенном виде.

2. Наименьший общий знаменатель:

   • НОЗ = ((t-5)^2(t+5)).

3. Приведение дробей:

   • Первая дробь: (\frac{5t}{(t-5)(t+5)}) умножаем на (\frac{t-5}{t-5}), получаем (\frac{5t(t-5)}{(t-5)^2(t+5)}).
   • Вторая дробь: (\frac{t+5}{(t-5)^2}) умножаем на (\frac{t+5}{t+5}), получаем (\frac{(t+5)^2}{(t-5)^2(t+5)}).

Теперь обе дроби имеют общий знаменатель ((t-5)^2(t+5)).

[ \frac{5t(t-5)}{(t-5)^2(t+5)} + \frac{(t+5)^2}{(t-5)^2(t+5)} ]

Таким образом, обе пары дробей приведены к наименьшему общему знаменателю.

а) Наименьший общий знаменатель для дробей 2c/(c+d) и 3d/(d-c) равен |c-d|. б) Наименьший общий знаменатель для дробей 5t/(t^2-25) и (t+5)/(t-5)^2 равен t^2-25.

а) Для приведения дробей к наименьшему общему знаменателю необходимо найти их общий множитель. В данном случае, наименьшим общим знаменателем будет (c+d)(d-c), так как это произведение содержит все множители знаменателей исходных дробей.

Теперь приведем первую дробь к новому знаменателю: 2c/c+d = 2c(c-c)/(c+d)(d-c) = 2c(c-c)/((c+d)(d-c)) = 0

Аналогично приводим вторую дробь: 3d/d-c = 3d(c+d)/(c+d)(d-c) = 3d(c+d)/((c+d)(d-c)) = 3d

Таким образом, после приведения дробей к общему знаменателю получим: 0 и 3d.

б) Для данного случая наименьшим общим знаменателем будет (t-5)^2*(t+5), так как это произведение содержит все множители знаменателей исходных дробей.

Приведем первую дробь к новому знаменателю: 5t/t^2-25 = 5t/(t-5)(t+5) = 5t/((t-5)(t+5))

Приведем вторую дробь к новому знаменателю: t+5/(t-5)^2 = (t+5)/(t-5)^2

Таким образом, после приведения дробей к общему знаменателю получим: 5t/((t-5)(t+5)) и (t+5)/(t-5)^2.