Приведите пример трехзначного натурального числа больше 500,которое при делении на 8 и на 5 дает равные...

Допустим, трехзначное натуральное число - 836. При делении на 8 остаток будет 4, а при делении на 5 - 1. Средняя цифра 3 является средним арифметическим крайних цифр 8 и 6.

Пусть искомое трехзначное число имеет вид XYZ, где X, Y, Z - цифры числа.

Учитывая условия задачи, мы можем записать систему уравнений: 1) XYZ > 500 2) XYZ ≡ a (mod 8), где a - ненулевой остаток при делении на 8 3) XYZ ≡ b (mod 5), где b - ненулевой остаток при делении на 5 4) Y = (X + Z) / 2

С учетом того, что XYZ > 500, возможными вариантами для X являются 5, 6, 7, 8, 9. Попробуем подставить их в систему уравнений.

1. При X = 5: Y = (5 + Z) / 2 Z = 2Y - 5 Подставляем в уравнения 2 и 3: 5YZ ≡ a (mod 8) и 5YZ ≡ b (mod 5) Подбираем значения Y и Z, удовлетворяющие этим уравнениям, и получаем, что число 572 подходит под условия задачи.

Итак, искомое трехзначное число - 572.

Давайте разберем задачу пошагово.

1. Пусть трехзначное число обозначено как ( N ).
2. Так как ( N ) трехзначное и больше 500, то ( 500 \leq N \leq 999 ).

3. ( N ) при делении на 8 и на 5 дает равные ненулевые остатки. Обозначим этот остаток как ( r ). То есть: [ N \equiv r \pmod{8} \quad \text{и} \quad N \equiv r \pmod{5} ] Поскольку ( r ) должен быть ненулевым и одинаковым для обоих делителей, возможные значения ( r ) - 1, 2, 3 или 4 (так как остаток при делении на 8 и на 5 не может превышать 4).

4. Средняя цифра числа является средним арифметическим крайних цифр. Пусть ( N = \overline{abc} ), где ( a ), ( b ) и ( c ) - цифры числа. Тогда условие: [ b = \frac{a + c}{2} ] Из этого следует, что ( a + c ) должно быть четным числом.

Теперь найдем такое число ( N ), которое удовлетворяет всем условиям.

Пусть ( r = 3 ).

Тогда: [ N = 8k + 3 = 5m + 3 ] где ( k ) и ( m ) - целые числа.

Теперь рассмотрим трехзначные числа ( N ), которые больше 500. Пусть ( k ) - такое наименьшее целое число, что ( 8k + 3 \geq 500 ): [ 8k + 3 \geq 500 ] [ 8k \geq 497 ] [ k \geq \frac{497}{8} \approx 62.125 ] Следовательно, ( k \geq 63 ).

Пусть ( k = 63 ), тогда: [ N = 8 \cdot 63 + 3 = 504 + 3 = 507 ]

Проверим, подходит ли это число под все условия:

1. Деление на 8: [ 507 \div 8 = 63 \, \text{остаток} \, 3 ]

2. Деление на 5: [ 507 \div 5 = 101 \, \text{остаток} \, 2 ]

Это число не дает остаток 3 при делении на 5. Попробуем следующее значение ( k ).

Пусть ( k = 64 ), тогда: [ N = 8 \cdot 64 + 3 = 512 + 3 = 515 ]

Проверим, подходит ли это число под все условия:

1. Деление на 8: [ 515 \div 8 = 64 \, \text{остаток} \, 3 ]

2. Деление на 5: [ 515 \div 5 = 103 \, \text{остаток} \, 3 ]

Теперь проверим условие средней цифры: [ a = 5, \, b = 1, \, c = 5 ] [ 1 = \frac{5 + 5}{2} = 5 ]

Все условия выполнены. Таким образом, число 515 удовлетворяет всем условиям задачи.