Производную y(x)=x⁴+3x³+4. Найти произв.y=(2x+1)³

y'(x) = 4x³ + 9x²

y'(x) = 6(2x + 1)²

Для нахождения производной функции y(x) = x⁴ + 3x³ + 4, нужно взять производные от каждого слагаемого по отдельности.

Производная от x⁴ равна 4x³ (так как степень уменьшается на 1 и умножается на старшую степень) Производная от 3x³ равна 9x² (аналогично, степень уменьшается на 1 и умножается на старшую степень) Производная от 4 равна 0 (постоянная функция имеет производную равную нулю)

Таким образом, производная функции y(x) = x⁴ + 3x³ + 4 равна y'(x) = 4x³ + 9x².

Для нахождения производной функции y = (2x + 1)³ можно воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции (цепного правила).

Производная сложной функции f(g(x)) равна произведению производной внешней функции f'(g(x)) и производной внутренней функции g'(x).

В данном случае, внешняя функция f(u) = u³, а внутренняя функция u(x) = 2x + 1.

Производная внешней функции: f'(u) = 3u² Производная внутренней функции: u'(x) = 2

Тогда производная функции y = (2x + 1)³ равна y'(x) = 3(2x + 1)² * 2 = 6(2x + 1)².

Конечно! Давайте рассмотрим две задачи по нахождению производных.

1. Найти производную функции ( y(x) = x^4 + 3x^3 + 4 ):

Для нахождения производной многочлена применяем стандартные правила дифференцирования: производная суммы функций равна сумме производных, а производная степени ( x^n ) равна ( nx^{n-1} ).

Итак, найдем производную каждого члена функции:

1. Производная от ( x^4 ): [ \frac{d}{dx}(x^4) = 4x^3 ]

2. Производная от ( 3x^3 ): [ \frac{d}{dx}(3x^3) = 3 \cdot 3x^2 = 9x^2 ]

3. Производная от константы ( 4 ): [ \frac{d}{dx}(4) = 0 ]

Теперь сложим все найденные производные: [ y'(x) = 4x^3 + 9x^2 + 0 = 4x^3 + 9x^2 ]

Таким образом, производная функции ( y(x) = x^4 + 3x^3 + 4 ) равна ( y'(x) = 4x^3 + 9x^2 ).

2. Найти производную функции ( y = (2x + 1)^3 ):

Для решения этой задачи воспользуемся правилом цепочки. Сначала обозначим внутреннюю функцию ( u = 2x + 1 ), тогда ( y = u^3 ).

Найдем производную ( y ) по ( u ): [ \frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(u^3) = 3u^2 ]

Теперь найдем производную ( u ) по ( x ): [ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(2x + 1) = 2 ]

По правилу цепочки, производная ( y ) по ( x ) будет: [ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3u^2 \cdot 2 ]

Подставим ( u = 2x + 1 ): [ \frac{dy}{dx} = 3(2x + 1)^2 \cdot 2 = 6(2x + 1)^2 ]

Таким образом, производная функции ( y = (2x + 1)^3 ) равна ( y' = 6(2x + 1)^2 ).

Вот и все! Мы нашли производные обеих функций.