Проведите исследование функции и постройте её график y = x^2 + 2x

Для проведения исследования функции ( y = x^2 + 2x ) и построения её графика, нужно выполнить следующие шаги:

1. Область определения: Функция ( y = x^2 + 2x ) является многочленом второй степени, поэтому она определена для всех значений ( x ). Область определения функции: ( x \in (-\infty, +\infty) ).

2. Непрерывность: Поскольку функция является многочленом, она непрерывна на всей области определения.

3. Производные и критические точки: Найдём первую производную функции, чтобы определить точки экстремума и интервалы возрастания/убывания функции: [ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 2x) = 2x + 2. ] Найдём критические точки, приравняв первую производную к нулю: [ 2x + 2 = 0 \implies x = -1. ] Таким образом, ( x = -1 ) — это критическая точка.

4. Вторую производную: Найдём вторую производную функции, чтобы определить характер критической точки: [ f''(x) = \frac{d}{dx}(2x + 2) = 2. ] Поскольку вторая производная положительна ( ( f''(x) = 2 > 0 ) ), функция имеет минимум в точке ( x = -1 ).

5. Значение функции в критической точке: Подставим ( x = -1 ) в исходную функцию, чтобы найти значение функции в критической точке: [ y = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1. ] Таким образом, точка минимума функции — ( (-1, -1) ).

6. Интервалы возрастания и убывания: Определим интервалы возрастания и убывания функции, используя знак первой производной:

   • Если ( x < -1 ), то ( 2x + 2 < 0 ) (функция убывает).
   • Если ( x > -1 ), то ( 2x + 2 > 0 ) (функция возрастает).

7. Построение графика: Теперь мы имеем достаточно информации для построения графика функции:

   • Ветви параболы направлены вверх, так как старший коэффициент (при ( x^2 )) положительный.
   • Вершина параболы находится в точке ( (-1, -1) ).
   • Функция убывает на интервале ( (-\infty, -1) ) и возрастает на интервале ( (-1, +\infty) ).

8. График:

   • Найдём несколько дополнительных точек для точного построения графика:
     • При ( x = 0 ): ( y = 0^2 + 2 \cdot 0 = 0 ). Точка ( (0, 0) ).
     • При ( x = 1 ): ( y = 1^2 + 2 \cdot 1 = 1 + 2 = 3 ). Точка ( (1, 3) ).
     • При ( x = -2 ): ( y = (-2)^2 + 2 \cdot (-2) = 4 - 4 = 0 ). Точка ( (-2, 0) ).

   Используя эти точки и свойства функции, можно построить график параболы.

График функции ( y = x^2 + 2x ) будет выглядеть следующим образом:

   y
   |
  3|           *
   |          /
  2|         /
   |        /
  1|       /
   |      *
  0|-----*---*-----
   |    -2  -1  0  1  x

График параболы проходит через точки ( (-2, 0) ), ( (-1, -1) ), ( (0, 0) ), и ( (1, 3) ).

Для начала проведем исследование функции y = x^2 + 2x.

1. Найдем область определения функции. Функция y = x^2 + 2x определена для всех действительных чисел x, так как любое действительное число можно возвести в квадрат и прибавить к нему умноженное на 2.

2. Найдем производную функции. Для этого возьмем производную от выражения x^2 + 2x: y' = 2x + 2.

3. Найдем точки экстремума функции. Для этого приравняем производную к нулю и найдем значение x: 2x + 2 = 0 2x = -2 x = -1.

4. Найдем значение функции в найденной точке экстремума: y = (-1)^2 + 2*(-1) = 1 - 2 = -1.

5. Исследуем знак производной в окрестностях точки экстремума:

   • при x < -1 производная отрицательна (y' < 0), что означает убывание функции;
   • при x > -1 производная положительна (y' > 0), что означает возрастание функции.

6. Построим график функции y = x^2 + 2x. На графике можно увидеть, что функция имеет вершину в точке (-1, -1), является параболой, направленной вверх и симметричной относительно оси y.

Таким образом, проведя исследование функции y = x^2 + 2x и построив её график, мы получили полное представление о её поведении.