Пж 2 cos^2 x-cosx-1=0

Для решения уравнения 2cos^2(x) - cos(x) - 1 = 0 сначала заметим, что это квадратное уравнение относительно cos(x). Для его решения воспользуемся методом дискриминанта.

Итак, у нас есть уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где a = 2, b = -1, c = -1. Дискриминант такого уравнения вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.

Подставляя наши значения, получаем D = (-1)^2 - 42(-1) = 1 + 8 = 9.

Теперь найдем корни уравнения. Формулы для нахождения корней квадратного уравнения: x = (-b ± √D) / 2a.

Подставляя наши значения и вычисляя, получаем: x1 = (1 + √9) / 4 = 2 / 4 = 0.5 x2 = (1 - √9) / 4 = -2 / 4 = -0.5

Таким образом, уравнение 2cos^2(x) - cos(x) - 1 = 0 имеет два корня: cos(x) = 0.5 и cos(x) = -0.5.

2 cos^2 x - cos x - 1 = 0

Корни уравнения: x = π/3, x = 5π/3

Рассмотрим уравнение:

[ 2 \cos^2 x - \cos x - 1 = 0. ]

Это квадратное уравнение относительно (\cos x). Давайте введем замену: ( y = \cos x ). Тогда уравнение примет вид:

[ 2y^2 - y - 1 = 0. ]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула для дискриминанта квадратного уравнения ( ay^2 + by + c = 0 ) выглядит так:

[ D = b^2 - 4ac. ]

Подставим наши значения:

[ a = 2, \quad b = -1, \quad c = -1. ]

Тогда дискриминант будет:

[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9. ]

Поскольку дискриминант положителен, уравнение имеет два различных вещественных корня. Найдем их по формуле:

[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. ]

Подставляем наши значения:

[ y_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}. ]

Таким образом, получаем два решения:

1. ( y_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1 ),
2. ( y_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}. )

Теперь вернемся к исходной переменной (\cos x):

1. (\cos x = 1),
2. (\cos x = -\frac{1}{2}).

Рассмотрим каждое из решений.

1. (\cos x = 1).

Это равенство выполняется, когда ( x = 2\pi k ), где ( k ) — целое число.

1. (\cos x = -\frac{1}{2}).

Это равенство выполняется, когда ( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k ), где ( k ) — целое число.

Таким образом, общее решение уравнения:

[ x = 2\pi k, ] [ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, ]

где ( k ) — любое целое число.