Расстояние между пристанями А и В равно 63 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошел 20 км. Найдите скорость моторной лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Дам 30 баллов
Для решения данной задачи воспользуемся формулой для расстояния, времени и скорости:
[ D = V \cdot t ]
Пусть скорость моторной лодки в неподвижной воде равна ( V_L ) км/ч. Тогда скорость плота будет ( V_L + 4 ) км/ч (учитывая скорость течения реки). Плот прошел 20 км за один час, следовательно, скорость плота равна 20 км/ч.
Рассмотрим движение лодки относительно воды. Она проплывет расстояние между А и В (63 км) со скоростью ( V_L ) км/ч, а затем возвращается обратно с той же скоростью. В это время плот движется со скоростью ( V_L + 4 ) км/ч.
Таким образом, время, за которое моторная лодка пройдет расстояние между А и В, равно времени, за которое плот пройдет расстояние 20 км:
[ \frac{63}{V_L} + \frac{63}{V_L} = \frac{20}{V_L + 4} ]
Упростим это уравнение и найдем ( V_L ):
[ \frac{126}{V_L} = \frac{20}{V_L + 4} ] [ 126(V_L + 4) = 20V_L ] [ 126V_L + 504 = 20V_L ] [ 106V_L = 504 ] [ V_L = \frac{504}{106} ] [ V_L \approx 4.75 \, \text{км/ч} ]
Итак, скорость моторной лодки в неподвижной воде составляет примерно 4.75 км/ч.
Для решения задачи введем переменные и используем данные из условия.
Пусть:
Движение плота: Плот движется только под действием течения реки, то есть его скорость равна скорости течения, ( u = 4 ) км/ч. За время, когда лодка достигнет пристани В и вернется обратно в А, плот прошел 20 км. Время движения плота: [ t_{\text{плота}} = \frac{20}{4} = 5 \text{ часов}. ]
Движение лодки: Лодка сначала движется по течению, затем против течения.
По течению (из А в В): Скорость лодки по течению: ( v + u = v + 4 ) км/ч. Время, чтобы достигнуть В: [ t_{1} = \frac{63}{v + 4}. ]
Против течения (из В в А): Скорость лодки против течения: ( v - u = v - 4 ) км/ч. Время, чтобы вернуться в А: [ t_{2} = \frac{63}{v - 4}. ]
Общее время движения лодки (туда и обратно) составляет ( t{1} + t{2} ).
Уравнение времени: Общее время, затраченное лодкой, равно времени, за которое плот прошел 20 км, минус 1 час (так как лодка стартовала на час позже плота): [ t{1} + t{2} = 5 - 1 = 4 \text{ часа}. ]
Подставим выражения для ( t{1} ) и ( t{2} ): [ \frac{63}{v + 4} + \frac{63}{v - 4} = 4. ]
Решение уравнения: Умножим все уравнение на ((v + 4)(v - 4)) для избавления от дробей: [ 63(v - 4) + 63(v + 4) = 4(v + 4)(v - 4). ]
Упростим: [ 63v - 252 + 63v + 252 = 4(v^2 - 16). ]
[ 126v = 4v^2 - 64. ]
Перенесем все в одну сторону: [ 4v^2 - 126v - 64 = 0. ]
Решение квадратного уравнения: Используем формулу квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ): [ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ] где ( a = 4 ), ( b = -126 ), ( c = -64 ).
[ v = \frac{126 \pm \sqrt{126^2 + 4 \cdot 4 \cdot 64}}{8}. ]
[ v = \frac{126 \pm \sqrt{15876 + 1024}}{8}. ]
[ v = \frac{126 \pm \sqrt{16900}}{8}. ]
[ v = \frac{126 \pm 130}{8}. ]
Решения: [ v = \frac{256}{8} = 32, \quad v = \frac{-4}{8} = -0.5. ]
Поскольку скорость не может быть отрицательной, принимаем ( v = 32 ) км/ч.
Ответ: скорость моторной лодки в неподвижной воде равна 32 км/ч.
Скорость моторной лодки в неподвижной воде равна 10 км/ч.
