Разложите на множителей квадратный трехчлен а)x²-14x+45 б)3y²+7y-6

Разложение квадратного трёхчлена на множители является важным навыком в алгебре. Давайте рассмотрим оба примера по очереди.

Пример а) ( x^2 - 14x + 45 )

Для разложения квадратного трёхчлена вида ( ax^2 + bx + c ) на множители, мы ищем такие два числа, которые в произведении дают ( c ) (свободный член), а в сумме дают ( b ) (коэффициент при ( x )).

1. В данном примере ( a = 1 ), ( b = -14 ), ( c = 45 ).
2. Нам нужно найти такие два числа, чтобы их произведение было 45, а сумма -14.

Путём подбора или через факторизацию мы находим, что числа -5 и -9 удовлетворяют этим условиям:

• ( -5 \times -9 = 45 )
• ( -5 + (-9) = -14 )

Следовательно, трёхчлен можно разложить на множители следующим образом: [ x^2 - 14x + 45 = (x - 5)(x - 9) ]

Пример б) ( 3y^2 + 7y - 6 )

Для разложения такого трёхчлена, где ( a \neq 1 ), процесс несколько усложняется. Мы будем использовать метод разложения по группам или метод подбора.

1. В данном примере ( a = 3 ), ( b = 7 ), ( c = -6 ).
2. Нам нужно найти такие два числа, чтобы их произведение было равно ( a \times c = 3 \times (-6) = -18 ), а сумма равнялась ( b = 7 ).

Путём подбора находим числа 9 и -2:

• ( 9 \times -2 = -18 )
• ( 9 + (-2) = 7 )

Теперь разложим трёхчлен с использованием этих чисел: [ 3y^2 + 7y - 6 = 3y^2 + 9y - 2y - 6 ]

Далее сгруппируем и вынесем общий множитель из каждой пары: [ = 3y(y + 3) - 2(y + 3) ]

Теперь видно, что ( (y + 3) ) является общим множителем: [ = (3y - 2)(y + 3) ]

Итак, трёхчлен ( 3y^2 + 7y - 6 ) разлагается на множители как: [ 3y^2 + 7y - 6 = (3y - 2)(y + 3) ]

Таким образом, оба трёхчлена были успешно разложены на множители.

a) Для разложения на множители квадратного трехчлена x²-14x+45 нужно найти два числа, произведение которых равно 45 (поскольку коэффициент при x² равен 1) и их сумма равна -14 (коэффициент при x). Эти числа -9 и -5. Таким образом, разложение будет выглядеть следующим образом: (x-9)(x-5).

b) Для разложения на множители квадратного трехчлена 3y²+7y-6 нужно также найти два числа, произведение которых равно -18 (поскольку коэффициент при y² равен 3) и их сумма равна 7 (коэффициент при y). Эти числа 9 и -2. Таким образом, разложение будет выглядеть следующим образом: (3y-2)(y+3).

а) (x-9)(x-5) б) (3y-2)(y+3)