Разложите на множители a^2-6ab+9b^2

Для разложения выражения ( a^2 - 6ab + 9b^2 ) на множители, нужно применить метод группировки и распознавания полного квадрата. Давайте разберёмся шаг за шагом:

Шаг 1: Анализ выражения

Данное выражение ( a^2 - 6ab + 9b^2 ) является трёхчленным выражением (триномом). Мы должны проверить, является ли оно квадратом двучлена. Для этого обратим внимание на структуру:

1. Первый член: ( a^2 ) — это квадрат ( a ).
2. Последний член: ( 9b^2 ) — это квадрат ( 3b ).
3. Средний член: ( -6ab ). Мы видим, что он равен ( -2 \cdot a \cdot 3b ).

Так как все условия для полного квадрата выполняются, мы можем утверждать, что данное выражение является квадратом разности.

Шаг 2: Формула квадрата разности

Напомним формулу квадрата разности: [ (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 ]

В нашем случае:

• ( x = a ),
• ( y = 3b ).

Подставим эти значения в формулу: [ a^2 - 6ab + 9b^2 = (a - 3b)^2 ]

Шаг 3: Запись результата

Таким образом, разложение на множители выглядит следующим образом: [ a^2 - 6ab + 9b^2 = (a - 3b)(a - 3b) = (a - 3b)^2. ]

Итог

Выражение ( a^2 - 6ab + 9b^2 ) является квадратом двучлена ( (a - 3b) ). Поэтому результат разложения: [ (a - 3b)^2 ]

Для разложения выражения ( a^2 - 6ab + 9b^2 ) на множители начнем с анализа его структуры.

1. Определим вид выражения: Мы видим, что это квадратный трехчлен, который имеет вид ( ax^2 + bx + c ). В нашем случае:

   • ( a = 1 ) (коэффициент при ( a^2 )),
   • ( b = -6b ) (коэффициент при ( ab )),
   • ( c = 9b^2 ) (свободный член).

2. Проверим, является ли это полный квадрат: Попробуем представить данное выражение в виде квадрата двучлена. Для этого найдем корни и проверим, можно ли его представить в виде ( (ma + nb)^2 ).

3. Определим ( m ) и ( n ):

   • Квадрат двучлена имеет вид ( (ma + nb)^2 = m^2a^2 + 2mnab + n^2b^2 ).
   • Сравнивая с нашим выражением, мы можем установить следующее соответствие:
     • ( m^2 = 1 ) (отсюда ( m = 1 ) или ( m = -1 )),
     • ( n^2 = 9 ) (отсюда ( n = 3 ) или ( n = -3 )),
     • ( 2mn = -6 ).

4. Подберем значения ( m ) и ( n ): Если ( m = 1 ) и ( n = -3 ), то: [ 2 \cdot 1 \cdot (-3) = -6. ] Это соответствует нашему выражению. Таким образом, мы можем записать: [ a^2 - 6ab + 9b^2 = (a - 3b)^2. ]

5. Запишем окончательный ответ: [ a^2 - 6ab + 9b^2 = (a - 3b)(a - 3b) = (a - 3b)^2. ]

Таким образом, выражение ( a^2 - 6ab + 9b^2 ) разлагается на множители как ( (a - 3b)^2 ).

Выражение (a^2 - 6ab + 9b^2) можно разложить на множители как ((a - 3b)^2).