Разложите на множители квадратный трехчлен: 3y^2-5y+2
Разложите на множители квадратный трехчлен: 3y^2-5y+2
Чтобы разложить квадратный трехчлен (3y^2 - 5y + 2) на множители, мы можем воспользоваться методом разложения на множители через нахождение корней квадратного уравнения или методом подбора.
Квадратное уравнение: У нас имеется квадратное уравнение вида (ay^2 + by + c = 0), где (a = 3), (b = -5), (c = 2).
Дискриминант: Вычислим дискриминант (D) по формуле: [ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1. ]
Корни уравнения: Поскольку дискриминант положителен, уравнение имеет два различных действительных корня, которые можно найти по формуле: [ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. ] Подставим наши значения: [ y_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 1}{6} = 1, ] [ y_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 1}{6} = \frac{2}{3}. ]
Разложение на множители: Зная корни, можно записать разложение многочлена: [ 3y^2 - 5y + 2 = 3(y - 1)\left(y - \frac{2}{3}\right). ]
Упрощение: Упростим выражение: [ 3(y - 1)\left(y - \frac{2}{3}\right) = (3y - 3)\left(y - \frac{2}{3}\right) = (3y - 3)\left(\frac{3y - 2}{3}\right). ] Вынесем общий множитель: [ = (3y - 3)(y - \frac{2}{3}) = (3y - 2)(y - 1). ]
Таким образом, разложение квадратного трехчлена (3y^2 - 5y + 2) на множители даёт: [ 3y^2 - 5y + 2 = (3y - 2)(y - 1). ]
Для разложения данного квадратного трехчлена на множители нужно найти такие два множителя, произведение которых равно константе при y^2 (в данном случае 3) и сумма или разность которых равна коэффициенту при y (в данном случае -5).
Учитывая это, разложим 3y^2-5y+2 на множители. Для этого найдем два числа, у которых произведение равно 32=6, а сумма или разность равна -5. Этими числами будут -2 и -3, так как (-2)(-3)=6 и (-2)+(-3)=-5.
Теперь разложим трехчлен на множители, используя найденные числа: 3y^2-5y+2 = 3y^2 - 2y - 3y + 2 = y(3y - 2) - 1(3y - 2) = (y - 1)(3y - 2)
Таким образом, исходный квадратный трехчлен 3y^2-5y+2 после разложения на множители равен (y - 1)(3y - 2).
