Разложите на множители x²+6x+9

Для того чтобы разложить выражение x² + 6x + 9 на множители, сначала необходимо определить, какое квадратное уравнение соответствует данному выражению. В данном случае, x² + 6x + 9 представляет собой квадратный трехчлен, который можно записать в виде (x + 3)². Это следует из того, что (x + 3)² = x² + 23x + 3² = x² + 6x + 9.

Таким образом, выражение x² + 6x + 9 можно разложить на множители следующим образом: (x + 3)².

Итак, x² + 6x + 9 = (x + 3)².

Для разложения выражения ( x^2 + 6x + 9 ) на множители, можно использовать метод разложения квадратного трёхчлена на множители. Рассмотрим это выражение более подробно:

1. Определение коэффициентов: В квадратном трёхчлене ( ax^2 + bx + c ):

   • ( a = 1 ) (коэффициент при ( x^2 )),
   • ( b = 6 ) (коэффициент при ( x )),
   • ( c = 9 ) (свободный член).

2. Поиск корней квадратного трёхчлена: Применим теорему Виета, которая гласит, что если ( x_1 ) и ( x_2 ) — корни уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ), то:

   • ( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} ),
   • ( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} ).

   В нашем случае:

   • ( x_1 + x_2 = -\frac{6}{1} = -6 ),
   • ( x_1 \cdot x_2 = \frac{9}{1} = 9 ).

3. Решение квадратного уравнения: Решим квадратное уравнение ( x^2 + 6x + 9 = 0 ) с помощью дискриминанта ( D ): [ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0. ] Поскольку дискриминант равен нулю, у уравнения есть один корень (дважды повторяющийся): [ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3. ]

4. Запись корней: Корень уравнения ( x^2 + 6x + 9 = 0 ) равен ( x = -3 ).

5. Разложение на множители: Поскольку у нас один корень, который является двукратным, выражение можно записать как: [ x^2 + 6x + 9 = (x + 3)(x + 3) = (x + 3)^2. ]

Таким образом, разложение на множители квадратного трёхчлена ( x^2 + 6x + 9 ) имеет вид: [ x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2. ]

Это и есть окончательный ответ.