Для решения задачи, где разность двух чисел равна 5, а их произведение равно 84, можно использовать систему уравнений.
Обозначим два числа через ( x ) и ( y ). Из условия задачи можно записать следующие уравнения:
- ( x - y = 5 )
- ( xy = 84 )
Начнем с первого уравнения и выразим одно из чисел через другое. Например, выразим ( x ) через ( y ):
[ x = y + 5 ]
Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
[ (y + 5)y = 84 ]
Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду квадратичного уравнения:
[ y^2 + 5y - 84 = 0 ]
Решим это квадратное уравнение. Для этого найдем его корни с помощью формулы квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ):
[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]
В нашем уравнении ( a = 1 ), ( b = 5 ), ( c = -84 ). Подставим эти значения в формулу:
[ y = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84)}}{2 \cdot 1} ]
Выполним вычисления под корнем:
[ y = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 336}}{2} ]
[ y = \frac{-5 \pm \sqrt{361}}{2} ]
[ y = \frac{-5 \pm 19}{2} ]
Теперь у нас два возможных значения для ( y ):
- ( y = \frac{-5 + 19}{2} = \frac{14}{2} = 7 )
- ( y = \frac{-5 - 19}{2} = \frac{-24}{2} = -12 )
Соответственно, найдем ( x ) для каждого значения ( y ):
- Если ( y = 7 ), то ( x = y + 5 = 7 + 5 = 12 ).
- Если ( y = -12 ), то ( x = y + 5 = -12 + 5 = -7 ).
Таким образом, у нас есть две пары чисел, которые удовлетворяют условиям задачи:
- ( (x, y) = (12, 7) )
- ( (x, y) = (-7, -12) )
Обе пары чисел соответствуют условиям задачи: их разность равна 5, и произведение равно 84.