Разность двух чисел равна 5, а их произведение равно 84. Найдите эти числа.

Пусть первое число равно х, а второе - у. Тогда уравнения, описывающие условие задачи, будут выглядеть следующим образом: 1) x - y = 5 2) x * y = 84

Из первого уравнения можем выразить одно из чисел через другое: x = y + 5

Подставим это выражение во второе уравнение: (y + 5) * y = 84 y^2 + 5y = 84 y^2 + 5y - 84 = 0

Далее решим квадратное уравнение: D = 5^2 - 41(-84) = 25 + 336 = 361 y1,2 = (-5 ± √361) / 2 = (-5 ± 19) / 2

Получаем два корня: y1 = (19 - 5) / 2 = 14 / 2 = 7 y2 = (-19 - 5) / 2 = -24 / 2 = -12

Теперь найдем соответствующие значения для x: x1 = 7 + 5 = 12 x2 = -12 + 5 = -7

Итак, искомые числа - 12 и 7 (или -7 и -12).

Для решения задачи, где разность двух чисел равна 5, а их произведение равно 84, можно использовать систему уравнений.

Обозначим два числа через ( x ) и ( y ). Из условия задачи можно записать следующие уравнения:

1. ( x - y = 5 )
2. ( xy = 84 )

Начнем с первого уравнения и выразим одно из чисел через другое. Например, выразим ( x ) через ( y ):

[ x = y + 5 ]

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

[ (y + 5)y = 84 ]

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду квадратичного уравнения:

[ y^2 + 5y - 84 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение. Для этого найдем его корни с помощью формулы квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ):

[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

В нашем уравнении ( a = 1 ), ( b = 5 ), ( c = -84 ). Подставим эти значения в формулу:

[ y = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84)}}{2 \cdot 1} ]

Выполним вычисления под корнем:

[ y = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 336}}{2} ] [ y = \frac{-5 \pm \sqrt{361}}{2} ] [ y = \frac{-5 \pm 19}{2} ]

Теперь у нас два возможных значения для ( y ):

1. ( y = \frac{-5 + 19}{2} = \frac{14}{2} = 7 )
2. ( y = \frac{-5 - 19}{2} = \frac{-24}{2} = -12 )

Соответственно, найдем ( x ) для каждого значения ( y ):

1. Если ( y = 7 ), то ( x = y + 5 = 7 + 5 = 12 ).
2. Если ( y = -12 ), то ( x = y + 5 = -12 + 5 = -7 ).

Таким образом, у нас есть две пары чисел, которые удовлетворяют условиям задачи:

1. ( (x, y) = (12, 7) )
2. ( (x, y) = (-7, -12) )

Обе пары чисел соответствуют условиям задачи: их разность равна 5, и произведение равно 84.