Ребят, помогите решить 4sin^2x - 3=0 знаю, что нужно применить формулу понижения степени, но не знаю...

Давай решим уравнение ( 4\sin^2 x - 3 = 0 ).

1. Перепишем уравнение: Начнем с того, что преобразуем уравнение, чтобы выразить (\sin^2 x): [ 4\sin^2 x - 3 = 0 ] Добавим 3 к обеим сторонам: [ 4\sin^2 x = 3 ] Теперь разделим обе стороны на 4: [ \sin^2 x = \frac{3}{4} ]

2. Извлечение корня: Теперь найдем (\sin x): [ \sin x = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} ]

3. Поиск углов: Теперь мы можем найти значения (x), для которых (\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}) и (\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}).

   • Для (\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}): Углы, при которых синус равен (\frac{\sqrt{3}}{2}): [ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) ]

   • Для (\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}): Углы, при которых синус равен (-\frac{\sqrt{3}}{2}): [ x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) ]

4. Объединение решений: Таким образом, все возможные решения уравнения: [ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi, \quad x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) ]

Это и есть все решения данного тригонометрического уравнения. Если у тебя есть вопросы по любому из шагов, дай знать!

Давайте разберем ваше уравнение ( 4\sin^2x - 3 = 0 ) и решим его с применением формулы понижения степени.

Шаг 1. Перепишем уравнение

Начнем с приведения уравнения к более простому виду: [ 4\sin^2x - 3 = 0 ] Добавим ( 3 ) к обеим сторонам: [ 4\sin^2x = 3 ] Разделим все на ( 4 ): [ \sin^2x = \frac{3}{4}. ]

Шаг 2. Применяем формулу понижения степени

Формула понижения степени для синуса выглядит следующим образом: [ \sin^2x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}. ] Подставим эту формулу в уравнение вместо ( \sin^2x ): [ \frac{1 - \cos(2x)}{2} = \frac{3}{4}. ]

Шаг 3. Упростим уравнение

Умножим обе стороны на ( 2 ), чтобы избавиться от дроби: [ 1 - \cos(2x) = \frac{3}{2}. ] Вычтем ( 1 ) из обеих сторон: [ -\cos(2x) = \frac{3}{2} - 1. ] [ -\cos(2x) = \frac{1}{2}. ] Умножим обе стороны на ( -1 ): [ \cos(2x) = -\frac{1}{2}. ]

Шаг 4. Решим уравнение для ( 2x )

Теперь нужно решить уравнение: [ \cos(2x) = -\frac{1}{2}. ] Косинус равен ( -\frac{1}{2} ) в две точки на окружности: во втором и третьем квадрантах. Это соответствует следующим углам: [ 2x = \pi - \frac{\pi}{3} \quad \text{и} \quad 2x = \pi + \frac{\pi}{3}. ] Упростим: [ 2x = \frac{2\pi}{3} \quad \text{и} \quad 2x = \frac{4\pi}{3}. ]

Так как косинус — периодическая функция, общий вид решений будет: [ 2x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{и} \quad 2x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

Шаг 5. Найдем ( x )

Теперь разделим все на ( 2 ), чтобы выразить ( x ): [ x = \frac{\pi}{3} + \pi n \quad \text{и} \quad x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

Ответ

Общий вид решения: [ x = \frac{\pi}{3} + \pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]