Решить биквадратное уравнение: (x+4)^4- 6(x+4)^2-7=0
Решить биквадратное уравнение: (x+4)^4- 6(x+4)^2-7=0
Для решения данного биквадратного уравнения (x+4)^4 - 6(x+4)^2 - 7 = 0, сделаем замену переменной y = (x+4)^2. Тогда уравнение примет вид y^2 - 6y - 7 = 0.
Далее найдем корни этого квадратного уравнения. Для этого воспользуемся квадратным уравнением вида y^2 + py + q = 0, где p = -6, q = -7.
Дискриминант D = p^2 - 4q = (-6)^2 - 41(-7) = 36 + 28 = 64.
Так как D > 0, у уравнения есть два вещественных корня. Найдем их, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения: y1,2 = (-p ± √D) / 2.
y1 = (6 + 8) / 2 = 14 / 2 = 7, y2 = (6 - 8) / 2 = -2 / 2 = -1.
Теперь найдем значения переменной x, используя замену y = (x+4)^2.
1) Для y1 = 7: (x+4)^2 = 7, x+4 = ±√7, x = -4 ± √7.
2) Для y2 = -1: (x+4)^2 = -1. Так как квадрат числа не может быть отрицательным, решений не существует.
Итак, корни исходного биквадратного уравнения (x+4)^4 - 6(x+4)^2 - 7 = 0: x1 = -4 + √7, x2 = -4 - √7.
Для решения биквадратного уравнения ((x+4)^4 - 6(x+4)^2 - 7 = 0) можно использовать замену переменной. Давайте обозначим (y = (x+4)^2). Тогда уравнение примет вид:
[ y^2 - 6y - 7 = 0. ]
Теперь мы решаем полученное квадратное уравнение относительно (y). Для этого можно воспользоваться формулой квадратно уравнения:
[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ]
где (a = 1), (b = -6), (c = -7). Подставим эти значения в формулу:
[ y = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)}}{2 \cdot 1}. ]
Вычислим дискриминант:
[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64. ]
Теперь подставим дискриминант в формулу:
[ y = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2}. ]
Так как (\sqrt{64} = 8), у нас получаются два решения для (y):
Теперь вернёмся к замене (y = (x+4)^2).
Рассмотрим (y_1 = 7):
((x+4)^2 = 7).
Решим это уравнение:
[ x+4 = \pm \sqrt{7}. ]
Таким образом, мы получаем два решения для (x):
[ x_1 = \sqrt{7} - 4, ] [ x_2 = -\sqrt{7} - 4. ]
Рассмотрим (y_2 = -1):
((x+4)^2 = -1).
Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
Таким образом, действительными решениями исходного биквадратного уравнения являются:
[ x_1 = \sqrt{7} - 4, ] [ x_2 = -\sqrt{7} - 4. ]
