Решить графически систему уравнений: x+y=5 ;xy=4 (это в системе)

Чтобы решить графически систему уравнений:

1. (x + y = 5)
2. (xy = 4)

давайте начнем с того, как каждое из уравнений можно изобразить на графике.

Шаг 1: Построение графика первого уравнения

Уравнение (x + y = 5) можно переписать в виде:

[ y = 5 - x ]

Это уравнение представляет собой прямую линию с наклоном -1 и пересечением с осью y в точке (0, 5) и с осью x в точке (5, 0).

Шаг 2: Построение графика второго уравнения

Уравнение (xy = 4) можно представить в виде:

[ y = \frac{4}{x} ]

Это уравнение описывает гиперболу. Она имеет асимптоты (линии, к которым график приближается, но никогда их не пересекает) на осях x и y. Гипербола будет находиться в первой и третьей четвертях координатной плоскости, поскольку (xy = 4) подразумевает, что оба значения x и y должны быть положительными или отрицательными, чтобы произведение было положительным.

Шаг 3: Построение графиков

1. Для прямой (y = 5 - x):

   • Точки: (0, 5) и (5, 0).
   • Проведите прямую линию через эти точки.

2. Для гиперболы (y = \frac{4}{x}):

   • Найдите несколько точек, например:
     • Если (x = 1), то (y = 4) → точка (1, 4).
     • Если (x = 2), то (y = 2) → точка (2, 2).
     • Если (x = 4), то (y = 1) → точка (4, 1).
   • Проведите кривую, соединяющую эти точки, учитывая, что она будет подходить к осям, но не пересекать их.

Шаг 4: Поиск точек пересечения

Теперь, когда графики нарисованы, нужно определить, где они пересекаются. Эти точки пересечения и будут решениями системы уравнений.

Шаг 5: Алгебраическая проверка

Для точности можно найти точки пересечения алгебраически. Подставим (y) из первого уравнения во второе:

1. Из первого уравнения: (y = 5 - x).
2. Подставляем в (xy = 4):

[ x(5 - x) = 4 ]

Раскроем скобки:

[ 5x - x^2 = 4 ]

Перепишем это уравнение:

[ x^2 - 5x + 4 = 0 ]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac = 25 - 16 = 9 ]

Корни уравнения:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 3}{2} ] [ x_1 = \frac{8}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1 ]

Теперь найдем соответствующие значения (y):

• Для (x = 4):

[ y = 5 - 4 = 1 ]

• Для (x = 1):

[ y = 5 - 1 = 4 ]

Шаг 6: Ответ

Таким образом, решения системы уравнений:

1. ( (4, 1) )
2. ( (1, 4) )

Графически вы можете увидеть, что эти точки пересечения расположены на графиках прямой и гиперболы.

Рассмотрим систему уравнений:

1. ( x + y = 5 )
2. ( x \cdot y = 4 )

Нужно решить эту систему графически. Для этого построим графики каждого из уравнений на одной координатной плоскости и найдём точки их пересечения.

1. Построение графика первого уравнения ((x + y = 5)):

Перепишем уравнение в общем виде:

[ y = 5 - x ]

Это линейное уравнение, графиком которого является прямая. Чтобы построить её, достаточно найти две точки:

• Если ( x = 0 ), то ( y = 5 ). Точка: ( (0, 5) ).
• Если ( y = 0 ), то ( x = 5 ). Точка: ( (5, 0) ).

Соединив точки ((0, 5)) и ((5, 0)), получаем прямую ( y = 5 - x ).

2. Построение графика второго уравнения ((x \cdot y = 4)):

Перепишем уравнение:

[ y = \frac{4}{x} ]

Это уравнение гиперболы, у которой:

• Ветви находятся в I и III квадрантах, так как произведение ( x \cdot y = 4 > 0 ).
• При ( x > 0 ), ( y > 0 ); при ( x < 0 ), ( y < 0 ).

Для построения гиперболы найдём несколько точек:

• Если ( x = 1 ), то ( y = \frac{4}{1} = 4 ). Точка: ( (1, 4) ).
• Если ( x = 2 ), то ( y = \frac{4}{2} = 2 ). Точка: ( (2, 2) ).
• Если ( x = 4 ), то ( y = \frac{4}{4} = 1 ). Точка: ( (4, 1) ).
• Если ( x = -1 ), то ( y = \frac{4}{-1} = -4 ). Точка: ( (-1, -4) ).
• Если ( x = -2 ), то ( y = \frac{4}{-2} = -2 ). Точка: ( (-2, -2) ).
• Если ( x = -4 ), то ( y = \frac{4}{-4} = -1 ). Точка: ( (-4, -1) ).

Соединив эти точки, строим гиперболу.

3. Нахождение точек пересечения графиков:

Чтобы найти точки пересечения графически, нужно определить, где прямая ( y = 5 - x ) и гипербола ( y = \frac{4}{x} ) пересекаются.

Аналитическое уточнение:

Подставим ( y = 5 - x ) из первого уравнения во второе уравнение ( x \cdot y = 4 ):

[ x \cdot (5 - x) = 4 ]

Раскроем скобки:

[ 5x - x^2 = 4 ]

Перенесём всё в одну сторону:

[ x^2 - 5x + 4 = 0 ]

Решим квадратное уравнение методом дискриминанта:

[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 ]

[ x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 3}{2} ]

[ x_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{5 - 3}{2} = 1 ]

Теперь найдём соответствующие значения ( y ):

• При ( x = 4 ): ( y = 5 - 4 = 1 ). Точка: ( (4, 1) ).
• При ( x = 1 ): ( y = 5 - 1 = 4 ). Точка: ( (1, 4) ).

4. Графическое решение:

На координатной плоскости точки пересечения графиков — это ( (4, 1) ) и ( (1, 4) ).

Ответ:

Решением системы уравнений являются точки:

[ (4, 1) \quad \text{и} \quad (1, 4) ]

Для графического решения системы уравнений ( x + y = 5 ) и ( xy = 4 ) необходимо построить графики обоих уравнений.

1. Уравнение ( x + y = 5 ) — это прямая, которая пересекает ось ( y ) в точке ( (0, 5) ) и ось ( x ) в точке ( (5, 0) ).
2. Уравнение ( xy = 4 ) — это гипербола. Чтобы построить её, можно найти несколько точек: например, ( (2, 2) ), ( (4, 1) ), ( (1, 4) ), ( (-2, -2) ), ( (-4, -1) ), ( (-1, -4) ).

Нарисовав обе кривые на одной координатной плоскости, найдите точки пересечения. Эти точки будут решениями системы уравнений.

В результате вы получите две точки пересечения: ( (4, 1) ) и ( (1, 4) ).