Решить неравенство (3х-2)(х+4)>-11

Чтобы решить неравенство ((3x - 2)(x + 4) > -11), разложим его на несколько шагов:

1. Раскроем скобки и приведем неравенство к стандартному виду:

   ((3x - 2)(x + 4) > -11)

   Перемножим выражения в левой части неравенства:

   (3x \cdot x + 3x \cdot 4 - 2 \cdot x - 2 \cdot 4 > -11)

   (3x^2 + 12x - 2x - 8 > -11)

   (3x^2 + 10x - 8 > -11)

2. Перенесем -11 в левую часть неравенства, чтобы у нас получилось стандартное квадратичное неравенство:

   (3x^2 + 10x - 8 + 11 > 0)

   (3x^2 + 10x + 3 > 0)

3. Решим соответствующее квадратное уравнение:

   (3x^2 + 10x + 3 = 0)

   Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта (D):

   (D = b^2 - 4ac)

   где (a = 3), (b = 10), (c = 3).

   (D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64)

   Корни квадратного уравнения находятся по формуле:

   (x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a})

   Подставляем значения:

   (x_{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{-10 \pm 8}{6})

   Получаем два корня:

   (x_1 = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3})

   (x_2 = \frac{-10 - 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3)

4. Находим промежутки, в которых неравенство выполняется:

   Корни уравнения (x = -3) и (x = -\frac{1}{3}) разбивают числовую ось на три промежутка: ((-\infty, -3)), ((-3, -\frac{1}{3})) и ((-\frac{1}{3}, \infty)).

   Проверим знаки выражения (3x^2 + 10x + 3) на каждом из этих промежутков:

   • Для промежутка ((-\infty, -3)):

     Подставим (x = -4):

     (3(-4)^2 + 10(-4) + 3 = 48 - 40 + 3 = 11 > 0)

   • Для промежутка ((-3, -\frac{1}{3})):

     Подставим (x = -2):

     (3(-2)^2 + 10(-2) + 3 = 12 - 20 + 3 = -5 < 0)

   • Для промежутка ((-\frac{1}{3}, \infty)):

     Подставим (x = 0):

     (3(0)^2 + 10(0) + 3 = 3 > 0)

   Из этого следует, что выражение (3x^2 + 10x + 3) положительно на промежутках ((-\infty, -3)) и ((-\frac{1}{3}, \infty)).

5. Запишем окончательный ответ:

   Неравенство ((3x - 2)(x + 4) > -11) выполняется при (x \in (-\infty, -3) \cup (-\frac{1}{3}, \infty)).

Таким образом, решение неравенства — это (x \in (-\infty, -3) \cup (-\frac{1}{3}, \infty)).

Для решения данного неравенства необходимо выполнить следующие шаги:

1. Раскрываем скобки в левой части неравенства: (3x - 2)(x + 4) = 3x^2 + 12x - 2x - 8 = 3x^2 + 10x - 8

2. Переносим все члены неравенства в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: 3x^2 + 10x - 8 > -11 3x^2 + 10x - 8 + 11 > 0 3x^2 + 10x + 3 > 0

3. Находим корни квадратного уравнения 3x^2 + 10x + 3 = 0: D = 10^2 - 433 = 100 - 36 = 64 x1,2 = (-10 ± √64) / 6 x1 = (-10 + 8) / 6 = -2 / 6 = -1/3 x2 = (-10 - 8) / 6 = -18 / 6 = -3

4. Строим знаки функции 3x^2 + 10x + 3: Функция имеет положительный коэффициент при x^2, поэтому ветви параболы направлены вверх. Меняем знаки в интервалах между корнями -3 и -1/3: x < -3, x > -1/3

5. Ответ: решением неравенства (3x - 2)(x + 4) > -11 является множество всех x, удовлетворяющих условиям x < -3 и x > -1/3.