Решить неравенство: log2$x^2-3x+2$ ≤ 1 + log2$x-2$

Решим неравенство ${\log }_2(x^2-3x+2$ \leq 1 + \log_2$x-2$ ).

Шаг 1: Приведение к общему логарифму

Первоначально, упростим правую часть неравенства: $1+{\log }_2(x-2)={\log }_2(2)+{\log }_2(x-2)={\log }_2(2(x-2)).$

Таким образом, неравенство переписывается как: ${\log }_2(x^2-3x+2)\le {\log }_2(2(x-2)).$

Шаг 2: Удаление логарифмов

Так как логарифмическая функция ${\log }_2(x$) является монотонно возрастающей, неравенство: ${\log }_2(x^2-3x+2)\le {\log }_2(2(x-2))$ эквивалентно неравенству: $x^2-3x+2\le 2(x-2).$

Шаг 3: Решение квадратного неравенства

Перенесем все влево: $x^2-3x+2-2(x-2)\le 0,$ $x^2-3x+2-2x+4\le 0,$ $x^2-5x+6\le 0.$

Решим квадратное неравенство $x^2-5x+6\le 0$.

1. Найдем корни квадратного уравнения $x^2-5x+6=0$:

   • Дискриминант: $D=b^2-4ac=25-24=1$.
   • Корни: $x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2}$.
   • Корни: $x_1=3$, $x_2=2$.

2. Решение неравенства:

   • Парабола $x^2-5x+6$ направлена вверх.
   • Неравенство $x^2-5x+6\le 0$ выполняется на отрезке $[2,3]$.

Шаг 4: Учет области определения

Убедимся, что все значения переменной $x$ принадлежат области определения логарифмических выражений:

1. $x^2-3x+2>0$:

   • Разложение на множители: $(x-1$$x-2$ > 0 ).
   • Решение: $x\in (-\mathrm{\infty },1$ \cup $2,+\mathrm{\infty }$ ).

2. $x-2>0$:

   • Решение: $x>2$.

Шаг 5: Совмещение условий

Пересечение всех условий:

• Из решения неравенства: $x\in [2,3]$.
• Из области определения: $x\in (2,+\mathrm{\infty }$ ).

Пересечение: $x\in (2,3]$.

Ответ

Таким образом, решением неравенства является: $x\in (2,3$. ]

Для решения данного неравенства, сначала преобразуем его:

log2$x^2-3x+2$ ≤ 1 + log2$x-2$

Применим свойство логарифмов: log$a$ + log$b$ = log$ab$

log2$x^2-3x+2$ ≤ log2$2$ + log2$x-2$

Теперь объединим логарифмы:

log2$(x^2-3x+2$/$2\ast (x-2$)) ≤ 0

Далее преобразуем левую часть неравенства:

$x^2-3x+2$/$2\ast (x-2$) ≤ 1

Упростим числитель:

x^2 - 3x + 2 ≤ 2*$x-2$

x^2 - 3x + 2 ≤ 2x - 4

Перенесем все в левую часть:

x^2 - 3x + 2x - 2 - 4 ≤ 0

x^2 - x - 6 ≤ 0

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения:

D = $-1$^2 - 41$-6$ = 1 + 24 = 25

x1,2 = $1\pm \surd 25$ / 2 = $1\pm 5$ / 2 x1 = 6 / 2 = 3 x2 = -4 / 2 = -2

Итак, корни равны 3 и -2. Теперь построим таблицу знаков:

x < -2: - - + + $ответнеподходит$ -2 < x < 3: + - + + $ответподходит$ x > 3: + + - + $ответнеподходит$

Ответ: -2 < x < 3.

x < 1 or x > 3