Решить неравенство: log2(x^2 - 3x + 2) ≤ 1 + log2(x-2)

Решим неравенство ( \log_2(x^2 - 3x + 2) \leq 1 + \log_2(x-2) ).

Шаг 1: Приведение к общему логарифму

Первоначально, упростим правую часть неравенства: [ 1 + \log_2(x-2) = \log_2(2) + \log_2(x-2) = \log_2(2(x-2)). ]

Таким образом, неравенство переписывается как: [ \log_2(x^2 - 3x + 2) \leq \log_2(2(x-2)). ]

Шаг 2: Удаление логарифмов

Так как логарифмическая функция (\log_2(x)) является монотонно возрастающей, неравенство: [ \log_2(x^2 - 3x + 2) \leq \log_2(2(x-2)) ] эквивалентно неравенству: [ x^2 - 3x + 2 \leq 2(x-2). ]

Шаг 3: Решение квадратного неравенства

Перенесем все влево: [ x^2 - 3x + 2 - 2(x-2) \leq 0, ] [ x^2 - 3x + 2 - 2x + 4 \leq 0, ] [ x^2 - 5x + 6 \leq 0. ]

Решим квадратное неравенство ( x^2 - 5x + 6 \leq 0 ).

1. Найдем корни квадратного уравнения ( x^2 - 5x + 6 = 0 ):

   • Дискриминант: ( D = b^2 - 4ac = 25 - 24 = 1 ).
   • Корни: ( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{2} ).
   • Корни: ( x_1 = 3 ), ( x_2 = 2 ).

2. Решение неравенства:

   • Парабола ( x^2 - 5x + 6 ) направлена вверх.
   • Неравенство ( x^2 - 5x + 6 \leq 0 ) выполняется на отрезке ( [2, 3] ).

Шаг 4: Учет области определения

Убедимся, что все значения переменной ( x ) принадлежат области определения логарифмических выражений:

1. ( x^2 - 3x + 2 > 0 ):

   • Разложение на множители: ( (x-1)(x-2) > 0 ).
   • Решение: ( x \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty) ).

2. ( x-2 > 0 ):

   • Решение: ( x > 2 ).

Шаг 5: Совмещение условий

Пересечение всех условий:

• Из решения неравенства: ( x \in [2, 3] ).
• Из области определения: ( x \in (2, +\infty) ).

Пересечение: ( x \in (2, 3] ).

Ответ

Таким образом, решением неравенства является: [ x \in (2, 3]. ]

Для решения данного неравенства, сначала преобразуем его:

log2(x^2 - 3x + 2) ≤ 1 + log2(x-2)

Применим свойство логарифмов: log(a) + log(b) = log(ab)

log2(x^2 - 3x + 2) ≤ log2(2) + log2(x-2)

Теперь объединим логарифмы:

log2((x^2 - 3x + 2)/(2*(x-2))) ≤ 0

Далее преобразуем левую часть неравенства:

(x^2 - 3x + 2)/(2*(x-2)) ≤ 1

Упростим числитель:

x^2 - 3x + 2 ≤ 2*(x-2)

x^2 - 3x + 2 ≤ 2x - 4

Перенесем все в левую часть:

x^2 - 3x + 2x - 2 - 4 ≤ 0

x^2 - x - 6 ≤ 0

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения:

D = (-1)^2 - 41(-6) = 1 + 24 = 25

x1,2 = (1 ± √25) / 2 = (1 ± 5) / 2 x1 = 6 / 2 = 3 x2 = -4 / 2 = -2

Итак, корни равны 3 и -2. Теперь построим таблицу знаков:

x < -2: - - + + (ответ не подходит) -2 < x < 3: + - + + (ответ подходит) x > 3: + + - + (ответ не подходит)

Ответ: -2 < x < 3.

x < 1 or x > 3