Решить неравенство методом интервалов: а)$x+1$$x-1$$x-4$ > 0, б)$x-3$$4-x²$ > 0

а) Решение: x < -1, x > 1, x > 4.

б) Решение: x < -2, -2 < x < 2, x > 2.

Чтобы решить неравенства методом интервалов, следуйте этим шагам:

1. Найдите нули функции: Определите значения $x$, при которых выражение равно нулю.
2. Разделите числовую ось на интервалы: Используя найденные нули, разбейте числовую ось на интервалы.
3. Определите знаки на интервалах: Подставьте значения из каждого интервала в выражение и определите, будет ли результат положительным или отрицательным.
4. Запишите решение: Учитывайте, какие интервалы удовлетворяют условию неравенства.

a) $(x+1$$x-1$$x-4$ > 0)

1. Найдите нули функции: $(x+1)(x-1)(x-4)=0$ Нули: $x=-1$, $x=1$, $x=4$.

2. Разделите числовую ось на интервалы: Интервалы будут: $(-\mathrm{\infty },-1$ ), $(-1,1$ ), $(1,4$ ), $(4,\mathrm{\infty }$ ).

3. Определите знаки на интервалах:

   • Для $x\in (-\mathrm{\infty },-1$ ): Выберите $x=-2$: $(-2+1)(-2-1)(-2-4)=(-1)(-3)(-6)=-18<0$
   • Для $x\in (-1,1$ ): Выберите $x=0$: $(0+1)(0-1)(0-4)=(1)(-1)(-4)=4>0$
   • Для $x\in (1,4$ ): Выберите $x=2$: $(2+1)(2-1)(2-4)=(3)(1)(-2)=-6<0$
   • Для $x\in (4,\mathrm{\infty }$ ): Выберите $x=5$: $(5+1)(5-1)(5-4)=(6)(4)(1)=24>0$

4. Запишите решение: Решением неравенства будут интервалы, где выражение положительно: $x\in (-1,1)\cup (4,\mathrm{\infty })$

б) $(x-3$$4-x^2$ > 0)

1. Найдите нули функции: $(x-3)(4-x^2)=0$ Нули: $x=3$ и $4-x^2=0\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm 2$.

2. Разделите числовую ось на интервалы: Интервалы будут: $(-\mathrm{\infty },-2$ ), $(-2,2$ ), $(2,3$ ), $(3,\mathrm{\infty }$ ).

3. Определите знаки на интервалах:

   • Для $x\in (-\mathrm{\infty },-2$ ): Выберите $x=-3$: $(-3-3)(4-(-3{)}^2)=(-6)(4-9)=(-6)(-5)=30>0$
   • Для $x\in (-2,2$ ): Выберите $x=0$: $(0-3)(4-0^2)=(-3)(4)=-12<0$
   • Для $x\in (2,3$ ): Выберите $x=2.5$: $(2.5-3)(4-{2.5}^2)=(-0.5)(4-6.25)=(-0.5)(-2.25)=1.125>0$
   • Для $x\in (3,\mathrm{\infty }$ ): Выберите $x=4$: $(4-3)(4-4^2)=(1)(4-16)=(1)(-12)=-12<0$

4. Запишите решение: Решением неравенства будут интервалы, где выражение положительно: $x\in (-\mathrm{\infty },-2)\cup (2,3)$

Таким образом, решения для данных неравенств следующие:

• a) $x\in (-1,1$ \cup $4,\mathrm{\infty }$ )
• б) $x\in (-\mathrm{\infty },-2$ \cup $2,3$ )

Для решения неравенства методом интервалов нужно выяснить интервалы, на которых выражение больше нуля.

а)

1. Найдем корни уравнения $x+1$$x-1$$x-4$ = 0: x+1=0 => x=-1 x-1=0 => x=1 x-4=0 => x=4

2. Построим знаки множителей в интервалах между корнями: x