Решить неравенство методом интервалов: а)(x+1)(x-1)(x-4) > 0, б)(x-3)(4-x²) > 0

а) Решение: x < -1, x > 1, x > 4.

б) Решение: x < -2, -2 < x < 2, x > 2.

Чтобы решить неравенства методом интервалов, следуйте этим шагам:

1. Найдите нули функции: Определите значения ( x ), при которых выражение равно нулю.
2. Разделите числовую ось на интервалы: Используя найденные нули, разбейте числовую ось на интервалы.
3. Определите знаки на интервалах: Подставьте значения из каждого интервала в выражение и определите, будет ли результат положительным или отрицательным.
4. Запишите решение: Учитывайте, какие интервалы удовлетворяют условию неравенства.

a) ((x+1)(x-1)(x-4) > 0)

1. Найдите нули функции: [ (x+1)(x-1)(x-4) = 0 ] Нули: ( x = -1 ), ( x = 1 ), ( x = 4 ).

2. Разделите числовую ось на интервалы: Интервалы будут: ( (-\infty, -1) ), ( (-1, 1) ), ( (1, 4) ), ( (4, \infty) ).

3. Определите знаки на интервалах:

   • Для ( x \in (-\infty, -1) ): Выберите ( x = -2 ): [ (-2+1)(-2-1)(-2-4) = (-1)(-3)(-6) = -18 < 0 ]
   • Для ( x \in (-1, 1) ): Выберите ( x = 0 ): [ (0+1)(0-1)(0-4) = (1)(-1)(-4) = 4 > 0 ]
   • Для ( x \in (1, 4) ): Выберите ( x = 2 ): [ (2+1)(2-1)(2-4) = (3)(1)(-2) = -6 < 0 ]
   • Для ( x \in (4, \infty) ): Выберите ( x = 5 ): [ (5+1)(5-1)(5-4) = (6)(4)(1) = 24 > 0 ]

4. Запишите решение: Решением неравенства будут интервалы, где выражение положительно: [ x \in (-1, 1) \cup (4, \infty) ]

б) ((x-3)(4-x^2) > 0)

1. Найдите нули функции: [ (x-3)(4-x^2) = 0 ] Нули: ( x = 3 ) и ( 4 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 ).

2. Разделите числовую ось на интервалы: Интервалы будут: ( (-\infty, -2) ), ( (-2, 2) ), ( (2, 3) ), ( (3, \infty) ).

3. Определите знаки на интервалах:

   • Для ( x \in (-\infty, -2) ): Выберите ( x = -3 ): [ (-3-3)(4-(-3)^2) = (-6)(4-9) = (-6)(-5) = 30 > 0 ]
   • Для ( x \in (-2, 2) ): Выберите ( x = 0 ): [ (0-3)(4-0^2) = (-3)(4) = -12 < 0 ]
   • Для ( x \in (2, 3) ): Выберите ( x = 2.5 ): [ (2.5-3)(4-2.5^2) = (-0.5)(4-6.25) = (-0.5)(-2.25) = 1.125 > 0 ]
   • Для ( x \in (3, \infty) ): Выберите ( x = 4 ): [ (4-3)(4-4^2) = (1)(4-16) = (1)(-12) = -12 < 0 ]

4. Запишите решение: Решением неравенства будут интервалы, где выражение положительно: [ x \in (-\infty, -2) \cup (2, 3) ]

Таким образом, решения для данных неравенств следующие:

• a) ( x \in (-1, 1) \cup (4, \infty) )
• б) ( x \in (-\infty, -2) \cup (2, 3) )

Для решения неравенства методом интервалов нужно выяснить интервалы, на которых выражение больше нуля.

а)

1. Найдем корни уравнения (x+1)(x-1)(x-4) = 0: x+1=0 => x=-1 x-1=0 => x=1 x-4=0 => x=4

2. Построим знаки множителей в интервалах между корнями: x