Решить неравенство (x-5)(x+3)>0

Чтобы решить неравенство ((x-5)(x+3) > 0), необходимо определить, при каких значениях (x) произведение выражений ((x-5)) и ((x+3)) будет положительным. Для этого нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти нули выражения: Определим значения (x), при которых каждое из выражений ((x-5)) и ((x+3)) равно нулю. [ x - 5 = 0 \implies x = 5 ] [ x + 3 = 0 \implies x = -3 ] Таким образом, нули выражения находятся в точках (x = 5) и (x = -3).

2. Разделить числовую ось на интервалы: Нули выражения разбивают числовую ось на три интервала:

   • ((-\infty, -3))
   • ((-3, 5))
   • ((5, \infty))

3. Определить знаки выражения на каждом интервале: Для этого подставим значения (x) из каждого интервала в выражение ((x-5)(x+3)) и определим знак произведения.

   • Интервал ((-\infty, -3)): Выберем (x = -4): [ (x-5)(x+3) \rightarrow (-4-5)(-4+3) = (-9)(-1) = 9 > 0 ] Следовательно, на интервале ((-\infty, -3)) выражение положительно.

   • Интервал ((-3, 5)): Выберем (x = 0): [ (x-5)(x+3) \rightarrow (0-5)(0+3) = (-5)(3) = -15 < 0 ] Следовательно, на интервале ((-3, 5)) выражение отрицательно.

   • Интервал ((5, \infty)): Выберем (x = 6): [ (x-5)(x+3) \rightarrow (6-5)(6+3) = (1)(9) = 9 > 0 ] Следовательно, на интервале ((5, \infty)) выражение положительно.

4. Записать решение неравенства: Нам нужно, чтобы выражение ((x-5)(x+3) > 0), то есть, было положительным. Это происходит на интервалах ((-\infty, -3)) и ((5, \infty)).

Таким образом, решение неравенства ((x-5)(x+3) > 0) можно записать в виде:

[ x \in (-\infty, -3) \cup (5, \infty) ]

Это означает, что (x) должно принадлежать либо интервалу от минус бесконечности до (-3) (не включая (-3)), либо интервалу от (5) до плюс бесконечности (не включая (5)).

Неравенство (x-5)(x+3)>0 решается путем нахождения интервалов, на которых данное выражение положительно. Получается два интервала: (-бесконечность, -3) и (5, +бесконечность).

Чтобы решить данное неравенство, нужно определить интервалы, на которых оно выполняется.

1. Найдем точки, где выражение (x-5)(x+3) равно нулю. Это происходит при x=5 и x=-3.
2. Проведем знаковый анализ на интервалах (-бесконечность, -3), (-3, 5), (5, +бесконечность).
   • Подставим в выражение (x-5)(x+3) любое число из каждого интервала. Например, для интервала (-бесконечность, -3) возьмем x=-4. При подстановке получим (-4-5)(-4+3)=(-9)(-1)=9, что больше 0. Значит, на этом интервале неравенство выполняется.
   • Для интервала (-3, 5) возьмем x=0. При подстановке получим (0-5)(0+3)=(-5)(3)=-15, что меньше 0. Значит, на этом интервале неравенство не выполняется.
   • Для интервала (5, +бесконечность) возьмем x=6. При подстановке получим (6-5)(6+3)=(1)(9)=9, что больше 0. Значит, на этом интервале неравенство выполняется.
3. Итак, решение неравенства (x-5)(x+3)>0: x принадлежит (-бесконечность, -3) объединено с (5, +бесконечность).