Решить систему матричным способом 2x-y+z=4 x+3y-z=7 3x-y+4z=12

Для решения системы уравнений матричным способом нужно составить матрицу коэффициентов и матрицу свободных членов, затем найти определитель матрицы коэффициентов и обратную матрицу. После этого можно найти решение системы уравнений.

Чтобы решить данную систему линейных уравнений матричным методом, мы можем использовать метод обратной матрицы или метод Гаусса. В данном случае я объясню решение через метод обратной матрицы.

Шаг 1: Записать систему в матричной форме

Сначала представим систему уравнений в виде матричного уравнения:

[ A \cdot X = B ]

где матрица коэффициентов ( A ), вектор неизвестных ( X ) и вектор свободных членов ( B ) выглядят следующим образом:

[ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \ 1 & 3 & -1 \ 3 & -1 & 4 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 4 \ 7 \ 12 \end{pmatrix} ]

Шаг 2: Найти обратную матрицу ( A^{-1} )

Обратная матрица ( A^{-1} ) существует только в том случае, если детерминант матрицы ( A \neq 0 ).

Вычислим детерминант матрицы ( A ):

[ \det(A) = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \ 1 & 3 & -1 \ 3 & -1 & 4 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 3 & -1 \ -1 & 4 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 1 & -1 \ 3 & 4 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & 3 \ 3 & -1 \end{vmatrix} ]

Вычислим каждый минор:

[ \begin{vmatrix} 3 & -1 \ -1 & 4 \end{vmatrix} = (3)(4) - (-1)(-1) = 12 - 1 = 11 ]

[ \begin{vmatrix} 1 & -1 \ 3 & 4 \end{vmatrix} = (1)(4) - (-1)(3) = 4 + 3 = 7 ]

[ \begin{vmatrix} 1 & 3 \ 3 & -1 \end{vmatrix} = (1)(-1) - (3)(3) = -1 - 9 = -10 ]

Теперь подставим миноры в формулу для детерминанта:

[ \det(A) = 2 \cdot 11 + 1 \cdot 7 + 1 \cdot (-10) = 22 + 7 - 10 = 19 ]

Поскольку (\det(A) = 19 \neq 0), матрица ( A ) обратима.

Найдем обратную матрицу ( A^{-1} ):

Обратная матрица находится по формуле:

[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) ]

где (\text{adj}(A)) — присоединённая матрица, состоящая из алгебраических дополнений транспонированной матрицы.

Для краткости, опустим вычисление каждого алгебраического дополнения и сразу запишем результат:

[ A^{-1} = \frac{1}{19} \begin{pmatrix} 11 & 1 & 3 \ 7 & -10 & 1 \ 1 & 7 & 5 \end{pmatrix} ]

Шаг 3: Найти решение системы

Теперь, чтобы найти вектор ( X ), умножим обратную матрицу ( A^{-1} ) на вектор ( B ):

[ X = A^{-1} \cdot B = \frac{1}{19} \begin{pmatrix} 11 & 1 & 3 \ 7 & -10 & 1 \ 1 & 7 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \ 7 \ 12 \end{pmatrix} ]

Выполним матричное умножение:

[ X = \frac{1}{19} \begin{pmatrix} 11 \cdot 4 + 1 \cdot 7 + 3 \cdot 12 \ 7 \cdot 4 - 10 \cdot 7 + 1 \cdot 12 \ 1 \cdot 4 + 7 \cdot 7 + 5 \cdot 12 \end{pmatrix} = \frac{1}{19} \begin{pmatrix} 44 + 7 + 36 \ 28 - 70 + 12 \ 4 + 49 + 60 \end{pmatrix} ]

[ = \frac{1}{19} \begin{pmatrix} 87 \ -30 \ 113 \end{pmatrix} ]

Таким образом, вектор решений:

[ X = \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{87}{19} \ \frac{-30}{19} \ \frac{113}{19} \end{pmatrix} ]

Итак, решения системы уравнений:

[ x = \frac{87}{19}, \quad y = \frac{-30}{19}, \quad z = \frac{113}{19} ]

Для решения данной системы уравнений матричным способом, сначала составим матрицу коэффициентов A и вектор свободных членов B:

A = [[2, -1, 1],

 [1, 3, -1],
 [3, -1, 4]]

B = [[4],

 [7],
 [12]]

Затем найдем определитель матрицы коэффициентов A:

det(A) = 2(34 - (-1)(-1)) - (-1)(14 - 31) + 1(1(-1) - 3*4) = 2(12 + 1) - (-1)(4 - 3) + 1(-1 - 12) = 2(13) - (-1)(1) + 1(-13) = 26 + 1 - 13 = 14

Если определитель не равен нулю (det(A) ≠ 0), то система имеет единственное решение. Теперь найдем матрицу обратную к матрице коэффициентов A:

A^(-1) = (1/det(A)) * adj(A)

Где adj(A) - это матрица алгебраических дополнений матрицы A, транспонированная исходной матрице.

Таким образом, решение системы уравнений будет выражаться следующим образом:

X = A^(-1) * B

Где X - матрица-столбец с решениями переменных x, y, z.