Решить систему уравнений x^2+6xy-7y^2=0 и x^2+y^2+2xy=36.

x=4, y=2

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки или методом исключения переменных.

1. Подставим выражение для x из первого уравнения во второе уравнение: x^2 + y^2 + 2xy = 36 (7y^2 - 6xy)^2 + y^2 + 2(7y^2 - 6xy)y = 36 49y^4 - 84xy^3 + 36x^2y^2 + y^2 + 14y^3 - 12xy^2 = 36 49y^4 - 84xy^3 + 36x^2y^2 + y^2 + 14y^3 - 12xy^2 - 36 = 0

2. Теперь решим полученное уравнение для переменной у. После нахождения значения у, подставим его обратно в уравнение для нахождения соответствующего значения х.

3. После нахождения значений x и y, проверим их подстановкой в оба уравнения системы. Если полученные значения удовлетворяют оба уравнения, то это будут корни системы уравнений.

Таким образом, решив данную систему уравнений, мы найдем значения переменных x и y, которые удовлетворяют обоим уравнениям одновременно.

Чтобы решить систему уравнений:

[ \begin{cases} x^2 + 6xy - 7y^2 = 0 \ x^2 + y^2 + 2xy = 36 \end{cases} ]

начнем с первого уравнения. Оно имеет вид квадратичной формы, и его можно разложить на множители. Рассмотрим:

[ x^2 + 6xy - 7y^2 = 0 ]

Поделим это уравнение на ( y^2 ) (при ( y \neq 0 )):

[ \left( \frac{x}{y} \right)^2 + 6 \left( \frac{x}{y} \right) - 7 = 0 ]

Обозначим (\frac{x}{y} = t). Тогда уравнение примет вид:

[ t^2 + 6t - 7 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение:

[ t^2 + 6t - 7 = 0 ]

Используем формулу для корней квадратного уравнения ( t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ):

[ t = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)}}{2 \cdot 1} ] [ t = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2} ] [ t = \frac{-6 \pm \sqrt{64}}{2} ] [ t = \frac{-6 \pm 8}{2} ]

Получаем два корня:

[ t_1 = \frac{-6 + 8}{2} = 1 ] [ t_2 = \frac{-6 - 8}{2} = -7 ]

Теперь у нас есть два случая:

1. (\frac{x}{y} = 1)
2. (\frac{x}{y} = -7)

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: (\frac{x}{y} = 1)

Значит, (x = y). Подставим это во второе уравнение системы:

[ x^2 + y^2 + 2xy = 36 ] [ x^2 + x^2 + 2x^2 = 36 ] [ 4x^2 = 36 ] [ x^2 = 9 ] [ x = \pm 3 ]

Таким образом, для (x = y) получаем два решения:

[ (3, 3) ] [ (-3, -3) ]

Случай 2: (\frac{x}{y} = -7)

Значит, (x = -7y). Подставим это во второе уравнение системы:

[ x^2 + y^2 + 2xy = 36 ] [ (-7y)^2 + y^2 + 2(-7y)y = 36 ] [ 49y^2 + y^2 - 14y^2 = 36 ] [ 36y^2 = 36 ] [ y^2 = 1 ] [ y = \pm 1 ]

Таким образом, для (x = -7y) получаем два решения:

[ (x, y) = (-7 \cdot 1, 1) = (-7, 1) ] [ (x, y) = (-7 \cdot (-1), -1) = (7, -1) ]

Итак, система уравнений имеет четыре решения:

[ \boxed{(3, 3), (-3, -3), (-7, 1), (7, -1)} ]