Решить тригонометрические уравнения: а) 5sin^2 x + 21sinx + 4 = 0 б) 7sin2x - 2sinx = 0 п.с: ^2 - степень(квадрат)

а) Для решения уравнения 5sin^2 x + 21sinx + 4 = 0 преобразуем его к квадратному уравнению относительно sinx. Пусть sinx = t. Тогда уравнение примет вид 5t^2 + 21t + 4 = 0. Решим это квадратное уравнение, используя дискриминант:

D = 21^2 - 4 5 4 = 441 - 80 = 361.

Корни уравнения: t1,2 = (-21 ± √361) / 10 = (-21 ± 19) / 10.

Таким образом, t1 = -2.0 и t2 = -0.4. Подставляем обратно sinx = t:

1) sinx = -2.0, что невозможно, так как значение синуса находится в диапазоне от -1 до 1. 2) sinx = -0.4. Найдем угол, соответствующий этому значению синуса: x = arcsin(-0.4) ≈ -0.4115 + 2πk, π + 2πk, k ∈ Z.

б) Для уравнения 7sin2x - 2sinx = 0 преобразуем его к виду sinx(7sinx - 2) = 0. При этом sinx = 0 или 7sinx - 2 = 0.

1) sinx = 0. Решение этого уравнения: x = arcsin(0) = 0 + πk, k ∈ Z. 2) 7sinx - 2 = 0. Решим это уравнение: sinx = 2/7. Найдем угол, соответствующий этому значению синуса: x = arcsin(2/7) ≈ 0.2896 + 2πk, π - 0.2896 + 2πk, k ∈ Z.

Таким образом, решениями данных тригонометрических уравнений будут x = 0 + πk, -0.4115 + 2πk, 0.2896 + 2πk, π - 0.2896 + 2πk, где k ∈ Z.

Давайте решим каждое из указанных тригонометрических уравнений.

а) (5\sin^2 x + 21\sin x + 4 = 0)

Это квадратное уравнение относительно (\sin x). Обозначим (\sin x = t), где (t) находится в интервале ([-1, 1]). Тогда уравнение принимает вид:

[5t^2 + 21t + 4 = 0]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Дискриминант (D) вычисляется по формуле:

[D = b^2 - 4ac = 21^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 441 - 80 = 361]

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два действительных корня:

[t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}]

[t_{1,2} = \frac{-21 \pm \sqrt{361}}{10}]

[t_{1,2} = \frac{-21 \pm 19}{10}]

Находим корни:

[t_1 = \frac{-21 + 19}{10} = \frac{-2}{10} = -0.2]

[t_2 = \frac{-21 - 19}{10} = \frac{-40}{10} = -4]

Так как (\sin x) должен находиться в интервале ([-1, 1]), то (t_2 = -4) не подходит. Остается только (t_1 = -0.2).

Теперь решим уравнение (\sin x = -0.2):

Общее решение для (\sin x = a) имеет вид:

[x = \arcsin(a) + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin(a) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}]

Для (\sin x = -0.2):

[x_1 = \arcsin(-0.2) + 2\pi k]

[x_2 = \pi - \arcsin(-0.2) + 2\pi k]

б) (7\sin2x - 2\sin x = 0)

Сначала используем формулу для синуса двойного угла: (\sin 2x = 2\sin x \cos x).

Подставим в уравнение:

[7 \cdot 2\sin x \cos x - 2\sin x = 0]

[14\sin x \cos x - 2\sin x = 0]

Вынесем (\sin x) за скобки:

[\sin x (14\cos x - 2) = 0]

Это уравнение равно нулю, если (\sin x = 0) или (14\cos x - 2 = 0).

1. (\sin x = 0)

Решение:

[x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}]

1. (14\cos x - 2 = 0)

Решение:

[\cos x = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}]

Общее решение для (\cos x = a) имеет вид:

[x = \pm \arccos(a) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}]

Для (\cos x = \frac{1}{7}):

[x_1 = \arccos\left(\frac{1}{7}\right) + 2\pi k]

[x_2 = -\arccos\left(\frac{1}{7}\right) + 2\pi k]

Таким образом, решения уравнений следующие:

• Для (а): (x = \arcsin(-0.2) + 2\pi k) или (x = \pi - \arcsin(-0.2) + 2\pi k), где (k \in \mathbb{Z}).
• Для (б): (x = \pi k) или (x = \arccos\left(\frac{1}{7}\right) + 2\pi k) или (x = -\arccos\left(\frac{1}{7}\right) + 2\pi k), где (k \in \mathbb{Z}).

а) sinx = -0.2, -0.8 б) sinx = 0, 2/7, 1