Решить уравнения    2sinx + √2 = 0   

Для решения уравнения 2sinx + √2 = 0 необходимо выразить sinx через √2. Для этого перенесем √2 на другую сторону уравнения:

2sinx = -√2

sinx = -√2 / 2

Так как sin(π/4) = √2 / 2, то sin(-π/4) = -√2 / 2. Таким образом, уравнение имеет два решения:

x = -π/4 + 2πk, x = -3π/4 + 2πk, где k - целое число.

Для того чтобы решить уравнение (2\sin{x} + \sqrt{2} = 0), следуем следующим шагам:

1. Перенос и приведение к стандартному виду:

   Сначала перенесем (\sqrt{2}) на правую сторону уравнения: [ 2\sin{x} = -\sqrt{2} ]

2. Изолирование функции синуса:

   Чтобы изолировать (\sin{x}), разделим обе части уравнения на 2: [ \sin{x} = -\frac{\sqrt{2}}{2} ]

3. Определение значений углов, удовлетворяющих уравнению:

   Нам нужно найти такие значения (x), для которых (\sin{x} = -\frac{\sqrt{2}}{2}). Мы знаем, что (\sin{\theta} = -\frac{\sqrt{2}}{2}) при углах (\theta), расположенных в третьей и четвертой четвертях единичной окружности. Конкретные значения: [ x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi ] где (k) — любое целое число.

4. Обоснование выбора углов:

   • В третьей четверти, угол ( \frac{5\pi}{4} ) (или 225 градусов) соответствует (\sin{\left( \frac{5\pi}{4} \right)} = -\frac{\sqrt{2}}{2}).
   • В четвертой четверти, угол ( \frac{7\pi}{4} ) (или 315 градусов) также соответствует (\sin{\left( \frac{7\pi}{4} \right)} = -\frac{\sqrt{2}}{2}).

5. Полное решение уравнения:

   Объединяя найденные значения, окончательно запишем решение: [ x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi ] где (k) — любое целое число.

Таким образом, мы нашли все значения (x), которые удовлетворяют данному уравнению.