Решить уравнение 1/(tg^2x) - 2/(tgx) - 3=0 и найти корни на промежутку [2п; 7п/2]

Для начала преобразуем уравнение, учитывая, что tg(x) = sin(x)/cos(x):

1/(tg^2x) - 2/(tgx) - 3 = 0 1/(sin^2x/cos^2x) - 2/(sinx/cosx) - 3 = 0 cos^2x/sin^2x - 2cosx/sinx - 3 = 0 cos^2x - 2cosxsinx - 3sin^2x = 0 cos^2x - 2sin2x - 3(1-cos^2x) = 0 cos^2x - 2sin2x - 3 + 3cos^2x = 0 4cos^2x - 2sin2x - 3 = 0

Теперь проведем замену sin2x = 2sinxcosx, cos2x = 1 - 2sin^2x:

4(1 - 2sin^2x) - 4sinxcosx - 3 = 0 4 - 8sin^2x - 4sinxcosx - 3 = 0 -8sin^2x - 4sinxcosx + 1 = 0

Полученное уравнение нелинейное и его решение может быть найдено численными методами. После решения уравнения найдем корни на промежутке [2п; 7п/2].

Рассмотрим уравнение:

[ \frac{1}{\tan^2 x} - \frac{2}{\tan x} - 3 = 0 ]

Чтобы упростить его, введем замену: ( y = \tan x ). Тогда уравнение преобразуется в:

[ \frac{1}{y^2} - \frac{2}{y} - 3 = 0 ]

Умножим всё уравнение на ( y^2 ) (предполагая, что ( y \neq 0 )):

[ 1 - 2y - 3y^2 = 0 ]

Перепишем уравнение в стандартной форме:

[ 3y^2 + 2y - 1 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант ( D ) вычисляется по формуле:

[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \times 3 \times (-1) = 4 + 12 = 16 ]

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных вещественных корня. Найдем их по формуле:

[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Подставим известные значения:

[ y_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \times 3} = \frac{-2 \pm 4}{6} ]

Вычислим корни:

[ y_1 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} ] [ y_2 = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1 ]

Теперь вернемся к замене ( y = \tan x ). Таким образом, у нас есть два уравнения:

1. (\tan x = \frac{1}{3})
2. (\tan x = -1)

Рассмотрим каждое из них на промежутке ([2\pi; \frac{7\pi}{2}]).

Для (\tan x = \frac{1}{3}):

Основное решение: ( x = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + k\pi ), где ( k ) — целое число.

Найдем решения на заданном промежутке:

1. ( k = 0: x = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) \approx 0.3217 )
2. ( 2\pi + 0.3217 \leq x \leq \frac{7\pi}{2} )

Поскольку ( 2\pi \approx 6.2832 ) и ( \frac{7\pi}{2} \approx 10.9956 ), проверим решения:

• ( x \approx 6.6049 ) (при ( k = 2 ))
• ( x \approx 9.7468 ) (при ( k = 3 ))

Для (\tan x = -1):

Основное решение: ( x = -\frac{\pi}{4} + k\pi = \frac{3\pi}{4} + k\pi ).

Найдем решения на заданном промежутке:

1. ( k = 2: x = \frac{11\pi}{4} \approx 8.6394 )
2. ( k = 3: x = \frac{15\pi}{4} \approx 11.7809 ) (но это больше (\frac{7\pi}{2}))

Итак, решения уравнения на промежутке ([2\pi; \frac{7\pi}{2}]) — это ( x \approx 6.6049 ), ( x \approx 8.6394 ), и ( x \approx 9.7468 ).