Решить уравнение: 1/x+2/x+2=1 Помогите решить

Для начала приведем дроби к общему знаменателю, который будет равен x(x+2):

1/x + 2/(x+2) = 1

Умножаем первое слагаемое на (x+2) и второе на x:

(x+2)/(x(x+2)) + 2x/(x(x+2)) = 1

Теперь объединяем дроби в одну:

(x+2 + 2x)/(x(x+2)) = 1

Упрощаем числитель:

(3x + 2)/(x(x+2)) = 1

Теперь умножаем обе части уравнения на x(x+2), чтобы избавиться от дроби:

3x + 2 = x(x+2)

Раскрываем скобки:

3x + 2 = x^2 + 2x

Приводим подобные слагаемые:

0 = x^2 - x - 2

Получаем квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = (-1)^2 - 41(-2) = 1 + 8 = 9

x1,2 = (-(-1) ± √9) / 2*1

x1,2 = (1 ± 3) / 2

x1 = (1 + 3) / 2 = 4 / 2 = 2

x2 = (1 - 3) / 2 = -2 / 2 = -1

Итак, уравнение имеет два решения: x = 2 и x = -1.

Давайте решим уравнение:

[ \frac{1}{x} + \frac{2}{x+2} = 1 ]

Первым шагом будет нахождение общего знаменателя для двух дробей с левой стороны уравнения. Общее выражение для знаменателя будет (x(x+2)). Преобразуем каждую дробь:

1. Первая дробь: (\frac{1}{x}) становится (\frac{x+2}{x(x+2)}). Это достигается умножением числителя и знаменателя на (x+2).

2. Вторая дробь: (\frac{2}{x+2}) становится (\frac{2x}{x(x+2)}). Это достигается умножением числителя и знаменателя на (x).

Теперь уравнение переписывается в виде:

[ \frac{x+2}{x(x+2)} + \frac{2x}{x(x+2)} = 1 ]

Объединяем дроби:

[ \frac{x+2 + 2x}{x(x+2)} = 1 ]

Упрощаем числитель:

[ \frac{3x + 2}{x(x+2)} = 1 ]

Теперь, чтобы избавиться от дроби, умножим обе стороны уравнения на (x(x+2)):

[ 3x + 2 = x(x+2) ]

Раскроем скобки на правой стороне:

[ 3x + 2 = x^2 + 2x ]

Перенесем все члены на одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

[ x^2 + 2x - 3x - 2 = 0 ]

Упрощаем:

[ x^2 - x - 2 = 0 ]

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться методом разложения на множители. Найдем такие два числа, которые в сумме дают (-1) (коэффициент при (x)), и произведение которых равно (-2) (свободный член). Эти числа: (-2) и (1).

Разложим квадратное уравнение на множители:

[ (x - 2)(x + 1) = 0 ]

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1. (x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2)
2. (x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1)

Теперь у нас есть два возможных решения: (x = 2) и (x = -1). Нужно проверить, что они не приводят к делению на ноль в исходном уравнении.

Подставим (x = 2) в исходное уравнение:

[ \frac{1}{2} + \frac{2}{2+2} = \frac{1}{2} + \frac{2}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 ]

Условие выполняется.

Подставим (x = -1) в исходное уравнение:

[ \frac{1}{-1} + \frac{2}{-1+2} = -1 + 2 = 1 ]

Условие также выполняется.

Таким образом, оба решения (x = 2) и (x = -1) являются допустимыми. Ответ:

(x = 2) и (x = -1).

Для решения данного уравнения нужно привести все дроби к общему знаменателю и решить полученное уравнение.