Решить уравнение: 2cos^2x+sinx+1=0

Данное уравнение является тригонометрическим. Для его решения мы можем воспользоваться заменой. Заметим, что $co{s}^{2}x=1-si{n}^{2}x$, откуда получаем новое уравнение:

$2(1-si{n}^{2}x)+sinx+1=0$

Раскроем скобки:

$2-2si{n}^{2}x+sinx+1=0$

Перепишем уравнение в виде квадратного уравнения относительно sin$x$:

$-2si{n}^{2}x+sinx+3=0$

Теперь решим это квадратное уравнение, используя дискриминант:

[D = 1 - 4$-2$3 = 1 + 24 = 25]

$sinx=\frac{-1\pm \sqrt{25}}{-4\ast (-2)}=\frac{-1\pm 5}{-8}=\frac{1}{-4}или\frac{3}{-4}$

$sinx=-0.25или-0.75$

$x=arcsin(-0.25)илиarcsin(-0.75)$

$x=-0.25+2\pi nили-0.75+2\pi n$

где $n$ - целое число.

cos^2x = 1 - sin^2x 2$1-si{n}^{2}x$ + sinx + 1 = 0 2 - 2sin^2x + sinx + 1 = 0 -2sin^2x + sinx + 3 = 0

Решение данного уравнения можно найти с помощью квадратного уравнения или других методов решения уравнений.

Для решения тригонометрического уравнения $2{\cos }^{2}x+\sin x+1=0$, можно воспользоваться основными тригонометрическими идентичностями и методами алгебры.

1. Используем основное тригонометрическое тождество: ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$ Подставляем это в уравнение: $2(1-{\sin }^{2}x)+\sin x+1=0$ Раскрываем скобки: $2-2{\sin }^{2}x+\sin x+1=0$ Приводим подобные члены: $-2{\sin }^{2}x+\sin x+3=0$

2. Решаем полученное квадратное уравнение относительно $\sin x$:

   Обозначим $\sin x=t$. Тогда уравнение принимает вид: $-2t^2+t+3=0$ Умножим всё уравнение на -1, чтобы упростить его: $2t^2-t-3=0$

3. Ищем корни квадратного уравнения:

   Используем формулу для решения квадратного уравнения: $t=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ Здесь $a=2$, $b=-1$, $c=-3$. Вычисляем дискриминант: $D=b^2-4ac=(-1{)}^2-4\cdot 2\cdot (-3)=1+24=25$ Находим корни: $t_1=\frac{1+\sqrt{25}}{4}=\frac{1+5}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$ $t_2=\frac{1-\sqrt{25}}{4}=\frac{1-5}{4}=\frac{-4}{4}=-1$

4. Проверяем полученные значения:

   $\sin x=\frac{3}{2}$ не имеет решений, так как значение синуса не может превышать 1.

   $\sin x=-1$ имеет решение: $x=\frac{3\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Таким образом, решение уравнения $2{\cos }^{2}x+\sin x+1=0$ будет: $x=\frac{3\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$