Решить уравнение (3/7)^3x-7=(7/3)^7x-3

Для решения данного уравнения необходимо использовать свойства степеней и логарифмов. Давайте подробно разберем решение:

Уравнение, которое нужно решить: [ \left(\frac{3}{7}\right)^{3x-7} = \left(\frac{7}{3}\right)^{7x-3} ]

Первым шагом преобразуем правую часть уравнения. Заметим, что (\frac{7}{3} = \left(\frac{3}{7}\right)^{-1}). Это позволяет переписать уравнение следующим образом: [ \left(\frac{3}{7}\right)^{3x-7} = \left(\left(\frac{3}{7}\right)^{-1}\right)^{7x-3} ]

Далее воспользуемся свойством степеней ((a^m)^n = a^{m \cdot n}): [ \left(\frac{3}{7}\right)^{3x-7} = \left(\frac{3}{7}\right)^{-(7x-3)} ]

Теперь у нас оба выражения имеют одинаковое основание (\frac{3}{7}). Это позволяет приравнять показатели степеней: [ 3x - 7 = -(7x - 3) ]

Упростим правую часть уравнения: [ 3x - 7 = -7x + 3 ]

Перенесем все члены с (x) в одну сторону, а свободные члены — в другую: [ 3x + 7x = 3 + 7 ]

Это упростит выражение до: [ 10x = 10 ]

Разделим обе стороны уравнения на 10, чтобы найти значение (x): [ x = 1 ]

Таким образом, решение уравнения ((\frac{3}{7})^{3x-7} = (\frac{7}{3})^{7x-3}) — (x = 1).

Проверим решение, подставив (x = 1) в исходное уравнение:

Левая часть: [ \left(\frac{3}{7}\right)^{3 \cdot 1 - 7} = \left(\frac{3}{7}\right)^{-4} ]

Правая часть: [ \left(\frac{7}{3}\right)^{7 \cdot 1 - 3} = \left(\frac{7}{3}\right)^4 ]

Заметим, что: [ \left(\frac{7}{3}\right)^4 = \left(\left(\frac{3}{7}\right)^{-1}\right)^4 = \left(\frac{3}{7}\right)^{-4} ]

Левая и правая части равны, следовательно, наш ответ (x = 1) верен.

Для решения данного уравнения необходимо привести обе стороны к одной основе. Для этого можно возвести обе стороны уравнения в степень, обратную той, в которой находятся выражения.

Итак, у нас дано уравнение: (3/7)^(3x - 7) = (7/3)^(7x - 3).

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 (или любому другому удобному основанию) для того, чтобы избавиться от степеней. Получим:

log((3/7)^(3x - 7)) = log((7/3)^(7x - 3)).

Используем свойство логарифма: log(a^b) = b * log(a). Тогда уравнение примет вид:

(3x - 7) log(3/7) = (7x - 3) log(7/3).

Теперь можем найти значения x, подставив значения log(3/7) ≈ -0.36922 и log(7/3) ≈ 0.8451:

(3x - 7) (-0.36922) = (7x - 3) 0.8451.

Раскрываем скобки и решаем полученное уравнение относительно x. Полученное значение x будет являться решением исходного уравнения.

Первым делом необходимо привести уравнение к одной основе, для этого применим логарифмы. получим 3х-7 log(3/7) = 7х-3 log(7/3). Выразим х.