Решить уравнение 6sin^2x -sin x=1

Для решения уравнения (6\sin^2x - \sin x = 1), сначала введем замену: пусть (y = \sin x). Тогда уравнение примет вид:

[6y^2 - y = 1.]

Приведем это уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

[6y^2 - y - 1 = 0.]

Теперь решим это квадратное уравнение. Используем формулу для решения квадратных уравнений (ay^2 + by + c = 0):

[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.]

В нашем случае (a = 6), (b = -1), (c = -1). Подставим эти значения в формулу:

[y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1)}}{2 \cdot 6}.]

Упростим подкоренное выражение:

[y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{12}.]

[y = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{12}.]

[y = \frac{1 \pm 5}{12}.]

Получаем два значения для (y):

1. (y = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2},)
2. (y = \frac{1 - 5}{12} = \frac{-4}{12} = \frac{-1}{3}.)

Теперь вернемся к переменной (x) и найдем значения (x), при которых (\sin x = \frac{1}{2}) и (\sin x = \frac{-1}{3}).

1. Решим (\sin x = \frac{1}{2}):

(\sin x = \frac{1}{2}) при (x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi) и (x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi), где (k) — целое число.

1. Решим (\sin x = \frac{-1}{3}):

Для (\sin x = \frac{-1}{3}) решаем уравнение, учитывая, что синус принимает значения от -1 до 1. В данном случае необходимо использовать обратные тригонометрические функции и учитывать периодичность.

Пусть (x = \arcsin \left(\frac{-1}{3}\right)). Тогда общие решения будут:

[x = \arcsin \left(\frac{-1}{3}\right) + 2k\pi] и [x = \pi - \arcsin \left(\frac{-1}{3}\right) + 2k\pi,]

где (k) — целое число.

Таким образом, общее решение уравнения (6\sin^2x - \sin x = 1) имеет вид:

[x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, ] [x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, ] [x = \arcsin \left(\frac{-1}{3}\right) + 2k\pi, ] [x = \pi - \arcsin \left(\frac{-1}{3}\right) + 2k\pi,]

где (k) — целое число.

Для решения данного уравнения нужно привести его к квадратному виду. Для этого заменим sin x на t и получим уравнение вида 6t^2 - t = 1. Теперь приведем его к стандартному квадратному виду, выделив полный квадрат: 6t^2 - t - 1 = 0. Далее решим это уравнение с помощью дискриминанта: D = (-1)^2 - 46(-1) = 1 + 24 = 25. Таким образом, уравнение имеет два корня: t1 = (1 + sqrt(25)) / 12 = 2/3 и t2 = (1 - sqrt(25)) / 12 = -1/2.

Теперь найдем обратную замену для t: sin x = 2/3 и sin x = -1/2. Решив уравнения sin x = 2/3 и sin x = -1/2, получим два набора решений: x1 = arcsin(2/3) и x2 = arcsin(-1/2).

Таким образом, общее решение уравнения 6sin^2x - sin x = 1 будет представлено в виде объединения двух наборов решений: x1 = arcsin(2/3) + 2πk1 и x2 = arcsin(-1/2) + 2πk2, где k1 и k2 - целые числа.