Решить уравнение cos8x=cos4x

Для решения уравнения (\cos(8x) = \cos(4x)) нужно использовать свойства тригонометрических функций. В частности, воспользуемся формулой разности косинусов:

[ \cos A = \cos B \implies A = 2\pi n + B \quad \text{или} \quad A = 2\pi n - B ]

где ( n ) — целое число.

Применим это к нашему уравнению:

1. ( 8x = 4x + 2\pi n )
2. ( 8x = -4x + 2\pi n )

Теперь решим каждое из этих уравнений:

Уравнение 1:

[ 8x = 4x + 2\pi n ]

Перенесем (4x) в левую часть:

[ 8x - 4x = 2\pi n ]

[ 4x = 2\pi n ]

Разделим обе части на 4:

[ x = \frac{\pi n}{2} ]

Уравнение 2:

[ 8x = -4x + 2\pi n ]

Перенесем (-4x) в левую часть:

[ 8x + 4x = 2\pi n ]

[ 12x = 2\pi n ]

Разделим обе части на 12:

[ x = \frac{\pi n}{6} ]

Таким образом, общее решение уравнения (\cos(8x) = \cos(4x)) имеет вид:

[ x = \frac{\pi n}{2} \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi n}{6} ]

где ( n ) — целое число. Эти решения соответствуют тем углам, при которых значения косинусов равны.

Для решения уравнения cos(8x) = cos(4x) можно воспользоваться тригонометрическими тождествами. Используя формулу косинуса разности, мы можем переписать уравнение в виде:

cos(8x) = cos(4x) cos(8x) - cos(4x) = 0 2 sin((8x + 4x) / 2) sin((8x - 4x) / 2) = 0 2 sin(6x) sin(2x) = 0

Теперь мы можем рассмотреть два случая:

1. sin(6x) = 0

2. sin(2x) = 0

3. Для sin(6x) = 0 получаем: 6x = πk, где k - целое число x = πk/6

4. Для sin(2x) = 0 получаем: 2x = πm, где m - целое число x = πm/2

Итак, решения уравнения cos(8x) = cos(4x) будут x = πk/6 и x = πm/2, где k и m - целые числа.