Решить уравнение: квадратный корень x^2-7x-9=3

Для того чтобы решить уравнение (\sqrt{x^2 - 7x - 9} = 3), следуем следующим шагам:

1. Устранение квадратного корня: Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе стороны уравнения в квадрат: [ (\sqrt{x^2 - 7x - 9})^2 = 3^2 ] Это даст нам: [ x^2 - 7x - 9 = 9 ]

2. Приведение уравнения к стандартному виду: Переносим все члены уравнения на одну сторону, чтобы получить уравнение вида (ax^2 + bx + c = 0): [ x^2 - 7x - 9 - 9 = 0 ] Упрощаем: [ x^2 - 7x - 18 = 0 ]

3. Решение квадратного уравнения: Теперь у нас есть квадратное уравнение (x^2 - 7x - 18 = 0). Для его решения можно использовать метод разложения на множители или формулу квадратного уравнения. Воспользуемся формулой: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где (a = 1), (b = -7), (c = -18).

   Подставляем значения: [ x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18)}}{2 \cdot 1} ] Упрощаем выражение под корнем: [ x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2} ] [ x = \frac{7 \pm \sqrt{121}}{2} ] Поскольку (\sqrt{121} = 11), получаем: [ x = \frac{7 \pm 11}{2} ]

4. Нахождение корней: Теперь у нас есть два возможных значения для (x): [ x = \frac{7 + 11}{2} = \frac{18}{2} = 9 ] [ x = \frac{7 - 11}{2} = \frac{-4}{2} = -2 ]

5. Проверка корней: Проверим, удовлетворяют ли найденные значения исходному уравнению (\sqrt{x^2 - 7x - 9} = 3).

   Для (x = 9): [ \sqrt{9^2 - 7 \cdot 9 - 9} = \sqrt{81 - 63 - 9} = \sqrt{9} = 3 ] Значит, (x = 9) является решением.

   Для (x = -2): [ \sqrt{(-2)^2 - 7 \cdot (-2) - 9} = \sqrt{4 + 14 - 9} = \sqrt{9} = 3 ] Значит, (x = -2) также является решением.

Таким образом, уравнение (\sqrt{x^2 - 7x - 9} = 3) имеет два решения: [ x = 9 \quad \text{и} \quad x = -2 ]

Для решения данного уравнения сначала выразим x^2 - 7x - 9 в виде суммы квадратов. Заметим, что x^2 - 7x - 9 = (x - 3.5)^2 - 18.25. Теперь подставим это выражение в уравнение:

(x - 3.5)^2 - 18.25 = 3

(x - 3.5)^2 = 21.25

x - 3.5 = ±√21.25

x = 3.5 ± √21.25

Таким образом, получаем два решения уравнения: x = 3.5 + √21.25 и x = 3.5 - √21.25.