Решить уравнение log3^2 x - log3 x=2

Давайте решим уравнение (\log_3^2 x - \log_3 x = 2). Для удобства обозначим (\log_3 x) как (y). Тогда уравнение приобретает вид:

[ y^2 - y = 2. ]

Это квадратное уравнение. Приведём его к стандартному виду:

[ y^2 - y - 2 = 0. ]

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого можно воспользоваться формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ]

где (a = 1), (b = -1), (c = -2). Подставим эти значения в формулу:

[ y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}, ] [ y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}, ] [ y = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2}, ] [ y = \frac{1 \pm 3}{2}. ]

Таким образом, получаем два корня:

[ y_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2, ] [ y_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1. ]

Теперь вспомним, что (y = \log_3 x). Следовательно, у нас есть два уравнения:

1. (\log_3 x = 2)
2. (\log_3 x = -1)

Рассмотрим каждое уравнение по отдельности:

1. (\log_3 x = 2)

Применим определение логарифма: если (\log_3 x = 2), то это означает, что (x = 3^2 = 9).

1. (\log_3 x = -1)

Применим определение логарифма: если (\log_3 x = -1), то это означает, что (x = 3^{-1} = \frac{1}{3}).

Таким образом, решение уравнения (\log_3^2 x - \log_3 x = 2) имеет два корня:

[ x = 9 \quad \text{и} \quad x = \frac{1}{3}. ]

Для решения данного уравнения сначала объединим логарифмы с одинаковым основанием:

log3^2 x - log3 x = log3^2 x / log3 x = log3 x

Теперь перепишем уравнение в виде логарифма:

log3 x = 2

Теперь применим определение логарифма:

3^2 = x

Ответ: x = 9.