Решить уравнение log5(x+3)=2-log5(2x+1)

Для решения данного уравнения с логарифмами необходимо применить свойства логарифмов.

1. Применим свойство логарифмов: log(a) - log(b) = log(a/b) Получаем: log5(x+3) = 2 - log5(2x+1) log5(x+3) + log5(2x+1) = 2

2. Применим свойство логарифмов: log(a) + log(b) = log(a*b) Получаем: log5((x+3)(2x+1)) = 2

3. Раскроем скобки внутри логарифма: (x+3)(2x+1) = 5^2 Получаем: 2x^2 + x + 6x + 3 = 25 2x^2 + 7x + 3 = 25

4. Приведем уравнение к квадратному виду: 2x^2 + 7x + 3 - 25 = 0 2x^2 + 7x - 22 = 0

5. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: D = 7^2 - 42(-22) = 49 + 176 = 225 x = (-7 ± √225) / 4*2 x = (-7 ± 15) / 8

Таким образом, получаем два возможных решения уравнения log5(x+3) = 2 - log5(2x+1): x1 = (-7 + 15) / 16 = 8 / 16 = 0.5 x2 = (-7 - 15) / 16 = -22 / 16 = -1.375

Итак, уравнение log5(x+3) = 2 - log5(2x+1) имеет два решения: x1 = 0.5 и x2 = -1.375.

Чтобы решить уравнение (\log_5(x+3) = 2 - \log_5(2x+1)), мы воспользуемся свойствами логарифмов и свойствами уравнений.

1. Перенос логарифмов в одну часть уравнения:

   Уравнение можно переписать, выразив все логарифмы в одной части уравнения:

   [ \log_5(x+3) + \log_5(2x+1) = 2 ]

   Мы перенесли (\log_5(2x+1)) в левую часть уравнения, поменяв знак.

2. Применение свойства логарифмов:

   По свойству логарифмов, сумма логарифмов равна логарифму произведения:

   [ \log_5((x+3)(2x+1)) = 2 ]

3. Преобразование уравнения:

   Уравнение (\log_5((x+3)(2x+1)) = 2) означает, что:

   [ (x+3)(2x+1) = 5^2 ]

   Поскольку (5^2 = 25), уравнение преобразуется в:

   [ (x+3)(2x+1) = 25 ]

4. Раскрытие скобок и приведение к квадратному уравнению:

   Раскроем скобки:

   [ 2x^2 + x + 6x + 3 = 25 ]

   Приведем подобные члены:

   [ 2x^2 + 7x + 3 = 25 ]

   Переносим 25 в левую часть:

   [ 2x^2 + 7x + 3 - 25 = 0 ]

   Это упростится до:

   [ 2x^2 + 7x - 22 = 0 ]

5. Решение квадратного уравнения:

   Для решения квадратного уравнения (2x^2 + 7x - 22 = 0) можно использовать дискриминант:

   Дискриминант (D) равен:

   [ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-22) ]

   [ D = 49 + 176 = 225 ]

   Поскольку дискриминант положительный, у уравнения есть два действительных корня. Найдем их:

   [ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{225}}{4} ]

   [ \sqrt{225} = 15 ]

   Таким образом, корни равны:

   [ x_1 = \frac{-7 + 15}{4} = \frac{8}{4} = 2 ]

   [ x_2 = \frac{-7 - 15}{4} = \frac{-22}{4} = -5.5 ]

6. Проверка корней:

   Подставим корни обратно в исходные логарифмические условия, чтобы убедиться в их допустимости:

   • Для (x = 2):

     (\log_5(2+3) = \log_5(5) = 1) и (2 - \log_5(2 \cdot 2 + 1) = 2 - \log_5(5) = 1). Уравнение выполняется.

   • Для (x = -5.5):

     (\log_5(-5.5 + 3) = \log_5(-2.5)), что невозможно, так как логарифм отрицательного числа не определен.

Поэтому единственным решением уравнения является (x = 2).