Решить уравнение Под корнем X^4 + 19 = 10

Для решения уравнения ( \sqrt{X^4 + 19} = 10 ) сначала возведем обе стороны в квадрат:

[ X^4 + 19 = 100 ]

Затем вычтем 19 из обеих сторон:

[ X^4 = 81 ]

Теперь извлекаем корень четвертой степени:

[ X = \pm 3 ]

Ответ: ( X = 3 ) и ( X = -3 ).

Рассмотрим уравнение:

[ \sqrt{x^4 + 19} = 10. ]

Шаг 1: Устранение корня

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат (при этом предполагаем, что выражение под корнем (x^4 + 19) неотрицательно):

[ (\sqrt{x^4 + 19})^2 = 10^2. ]

Итак:

[ x^4 + 19 = 100. ]

Шаг 2: Упрощение уравнения

Вычтем 19 из обеих частей уравнения:

[ x^4 = 100 - 19, ]

[ x^4 = 81. ]

Шаг 3: Нахождение (x^2)

Теперь решим уравнение (x^4 = 81). Напомним, что (x^4 = (x^2)^2), поэтому можем записать:

[ (x^2)^2 = 81. ]

Возьмем квадратный корень из обеих частей уравнения, не забывая учитывать оба знака (положительный и отрицательный):

[ x^2 = \pm 9. ]

Шаг 4: Нахождение (x)

Теперь решим два уравнения для (x):

1. (x^2 = 9),
2. (x^2 = -9).

Решение первого уравнения ((x^2 = 9)):

Возьмем квадратный корень из обеих частей:

[ x = \pm 3. ]

Решение второго уравнения ((x^2 = -9)):

Квадрат числа никогда не может быть отрицательным, поэтому это уравнение не имеет решений.

Шаг 5: Проверка решений

Подставим найденные значения (x = 3) и (x = -3) в исходное уравнение, чтобы убедиться, что они подходят.

Для (x = 3):

[ \sqrt{3^4 + 19} = \sqrt{81 + 19} = \sqrt{100} = 10. ]

Для (x = -3):

[ \sqrt{(-3)^4 + 19} = \sqrt{81 + 19} = \sqrt{100} = 10. ]

Оба значения удовлетворяют уравнению.

Ответ:

[ x = 3 \quad \text{и} \quad x = -3. ]

Давайте решим уравнение под корнем (X^4 + 19 = 10).

1. Переносим 19 на правую сторону уравнения: [ X^4 + 19 = 10 \implies X^4 = 10 - 19 ] [ X^4 = -9 ]

2. Анализируем полученное уравнение: Мы видим, что (X^4 = -9). Однако, степень четного порядка (в данном случае 4) любой действительной переменной (X) не может быть отрицательной. То есть, (X^4) всегда будет больше или равно нулю для всех действительных (X).

3. Заключение: Так как (X^4 = -9) не имеет решений в множестве действительных чисел, мы можем сказать, что уравнение не имеет действительных корней.

4. Комплексные корни: Если рассматривать комплексные числа, то мы можем найти решения. Из уравнения (X^4 = -9) можно записать его в виде: [ X^4 = 9e^{i\pi} \quad (\text{так как } -9 = 9(\cos(\pi) + i\sin(\pi))) ]

   Теперь применим корень четвертой степени: [ X = \sqrt[4]{9} e^{i\frac{\pi + 2k\pi}{4}} \quad \text{для } k = 0, 1, 2, 3 ] [ \sqrt[4]{9} = 3^{1/2} = \sqrt{3} ]

   Теперь найдём углы:

   • Для (k = 0): [ X_1 = \sqrt{3} e^{i\frac{\pi}{4}} = \sqrt{3} \left( \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{6}}{2} ]

   • Для (k = 1): [ X_2 = \sqrt{3} e^{i\frac{3\pi}{4}} = \sqrt{3}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{6}}{2} ]

   • Для (k = 2): [ X_3 = \sqrt{3} e^{i\frac{5\pi}{4}} = \sqrt{3}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{6}}{2} - i\frac{\sqrt{6}}{2} ]

   • Для (k = 3): [ X_4 = \sqrt{3} e^{i\frac{7\pi}{4}} = \sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2} - i\frac{\sqrt{6}}{2} ]

Таким образом, уравнение (X^4 + 19 = 10) имеет 4 комплексных корня: [ X_1 = \frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{6}}{2}, \quad X_2 = -\frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{6}}{2}, \quad X_3 = -\frac{\sqrt{6}}{2} - i\frac{\sqrt{6}}{2}, \quad X_4 = \frac{\sqrt{6}}{2} - i\frac{\sqrt{6}}{2} ]