Решить уравнение sin x + √3cos x = 0

Для решения уравнения (\sin x + \sqrt{3}\cos x = 0), начнем с того, что перенесем один из членов на другую сторону:

[ \sin x = -\sqrt{3}\cos x ]

Теперь разделим обе стороны уравнения на (\cos x) (предполагая, что (\cos x \neq 0)):

[ \tan x = -\sqrt{3} ]

Тангенс угла равен (-\sqrt{3}) при углах вида (x = \arctan(-\sqrt{3}) + \pi n), где (n) — целое число.

Значение (\arctan(-\sqrt{3})) соответствует углу, где тангенс равен (-\sqrt{3}). Из тригонометрических таблиц или единичной окружности известно, что (\tan \frac{5\pi}{3} = -\sqrt{3}). Однако, более часто используются углы в интервале от (0) до (2\pi), поэтому находим угол в первой окружности:

[ x = \frac{5\pi}{3} + \pi n ]

При этом можно также учесть, что (\tan x) имеет период (\pi), поэтому общий вид решения:

[ x = \frac{5\pi}{3} + \pi n ]

Можно также использовать другой способ, заменив угловой коэффициент в уравнении (\sin x + \sqrt{3}\cos x = 0) на сумму углов:

[ \sin x + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos x - \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin x = 0 ]

Это преобразуется в:

[ \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 0 ]

Отсюда:

[ x + \frac{\pi}{3} = \pi k ]

[ x = \pi k - \frac{\pi}{3} ]

Где (k) — целое число. Таким образом, окончательное решение:

[ x = \pi k - \frac{\pi}{3} ]

Эти два подхода дают эквивалентные множества решений, что подтверждает правильность решения.

Для решения уравнения sin x + √3cos x = 0 можно воспользоваться тригонометрическими тождествами.

Напомним, что cos(π/6) = √3/2, sin(π/6) = 1/2.

Преобразуем данное уравнение: sin x + √3cos x = 0 sin x + √3cos x = sin(π/6)x + cos(π/6)x = sin(π/6)x + cos(π/6)x = sin(π/6)cos x + cos(π/6)sin x = 2sin(π/6)cos x = 2(√3/2)cos x = √3cos x.

Таким образом, уравнение sin x + √3cos x = 0 эквивалентно уравнению 2sin(π/6)cos x = 0.

Из данного уравнения следует, что sin(π/6)cos x = 0.

Так как sin(π/6) ≠ 0, то это уравнение имеет единственное решение: cos x = 0.

Из этого следует, что x = π/2 + πn, где n - целое число.

Таким образом, решение уравнения sin x + √3cos x = 0: x = π/2 + πn, где n - целое число.

Решение: sin x + √3cos x = 0 sin x = -√3cos x sin x/cos x = -√3 tan x = -√3 x = π/6 + πn, где n - целое число.