Решить уравнение: sin^2(2x)+sin^2(3x)+sin^2(4x)+sin^2(5x)=2

Решим уравнение:

[ \sin^2(2x) + \sin^2(3x) + \sin^2(4x) + \sin^2(5x) = 2. ]

Для начала используем тригонометрическую идентичность:

[ \sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}. ]

Применим её к каждому слагаемому:

[ \sin^2(2x) = \frac{1 - \cos(4x)}{2}, ] [ \sin^2(3x) = \frac{1 - \cos(6x)}{2}, ] [ \sin^2(4x) = \frac{1 - \cos(8x)}{2}, ] [ \sin^2(5x) = \frac{1 - \cos(10x)}{2}. ]

Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получим:

[ \frac{1 - \cos(4x)}{2} + \frac{1 - \cos(6x)}{2} + \frac{1 - \cos(8x)}{2} + \frac{1 - \cos(10x)}{2} = 2. ]

Объединим дроби:

[ \frac{4 - (\cos(4x) + \cos(6x) + \cos(8x) + \cos(10x))}{2} = 2. ]

Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

[ 4 - (\cos(4x) + \cos(6x) + \cos(8x) + \cos(10x)) = 4. ]

Отсюда получаем:

[ \cos(4x) + \cos(6x) + \cos(8x) + \cos(10x) = 0. ]

Теперь решим уравнение (\cos(4x) + \cos(6x) + \cos(8x) + \cos(10x) = 0). Для этого можно использовать формулы суммы косинусов или попробовать найти решения, которые дадут нулевую сумму.

Одним из подходов является использование симметрии и свойств косинуса. Давайте проверим (x = \frac{\pi}{2}):

Подставим (x = \frac{\pi}{2}) в каждое слагаемое:

[ \cos(4 \cdot \frac{\pi}{2}) = \cos(2\pi) = 1, ] [ \cos(6 \cdot \frac{\pi}{2}) = \cos(3\pi) = -1, ] [ \cos(8 \cdot \frac{\pi}{2}) = \cos(4\pi) = 1, ] [ \cos(10 \cdot \frac{\pi}{2}) = \cos(5\pi) = -1. ]

Тогда сумма:

[ 1 - 1 + 1 - 1 = 0. ]

Таким образом, (x = \frac{\pi}{2}) является решением уравнения.

Поскольку косинус является периодической функцией с периодом (2\pi), общее решение будет:

[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, ]

где (k) — целое число.

Для решения данного уравнения, можно воспользоваться следующими тождествами:

1. sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2
2. cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)
3. cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x)
4. cos(4x) = 8cos^4(x) - 8cos^2(x) + 1
5. cos(5x) = 16cos^5(x) - 20cos^3(x) + 5cos(x)

Применим данные тождества и заменим sin^2(x) в уравнении: (1 - cos(4x))/2 + (1 - cos(9x))/2 + (1 - cos(16x))/2 + (1 - cos(25x))/2 = 2 4 - (cos(4x) + cos(9x) + cos(16x) + cos(25x)) = 4

Используя тригонометрические формулы суммы и разности косинусов, можем свести к выражению: cos(2x) + cos(5x) = 2 1 - 2sin^2(x) + 16cos^5(x) - 20cos^3(x) + 5cos(x) = 2

Далее можно провести дополнительные преобразования и решить получившееся уравнение для нахождения значений переменной x.