Решить уравнение sin7x-sinX=0

Чтобы решить уравнение $\sin 7x-\sin x=0$, воспользуемся формулой разности синусов:

$\sin A-\sin B=2\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)\sin \left(\frac{A-B}{2}\right)$

В нашем случае $A=7x$ и $B=x$. Подставим эти значения в формулу:

$\sin 7x-\sin x=2\cos \left(\frac{7x+x}{2}\right)\sin \left(\frac{7x-x}{2}\right)$

$=2\cos (4x)\sin (3x)$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$2\cos (4x)\sin (3x)=0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, у нас два уравнения:

1. $\cos (4x$ = 0 )
2. $\sin (3x$ = 0 )

Рассмотрим каждое из них отдельно.

Уравнение 1: $\cos (4x$ = 0 )

Косинус равен нулю в точках, где аргумент равен нечетному числу $\frac{\pi }{2}$. То есть:

$4x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Решим это уравнение относительно $x$:

$x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}$

Уравнение 2: $\sin (3x$ = 0 )

Синус равен нулю в точках, где аргумент равен целому числу $\pi$. То есть:

$3x=n\pi ,n\in \mathbb{Z}$

Решим это уравнение относительно $x$:

$x=\frac{n\pi }{3},n\in \mathbb{Z}$

Общий ответ

Таким образом, общее решение уравнения $\sin 7x-\sin x=0$ состоит из решений двух отдельных уравнений:

1. $x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}$
2. $x=\frac{n\pi }{3},n\in \mathbb{Z}$

Это и есть все решения исходного уравнения.

sin7x - sinx = 0

sin7x = sinx

7x = x + 2kπ или 7x = π - x + 2kπ

6x = 2kπ или 8x = π + 2kπ

x = kπ/3 или x = $\pi /8$ + $\pi /4$k

Ответ: x = kπ/3 или x = $\pi /8$ + $\pi /4$k, где k - целое число.

Для решения уравнения sin$7x$ - sin$x$ = 0, воспользуемся формулой разности для синусов: sin$a$ - sin$b$ = 2 cos$(a+b$ / 2) sin$(a-b$ / 2)

Применяя эту формулу к уравнению sin$7x$ - sin$x$ = 0, получаем: 2 cos$(7x+x$ / 2) sin$(7x-x$ / 2) = 0 2 cos$4x$ sin$3x$ = 0

Теперь рассмотрим два случая:

1. cos$4x$ = 0 Это возможно, если 4x = $2n+1$ π / 2, где n - целое число. Таким образом, x = $2n+1$ π / 8

2. sin$3x$ = 0 Это возможно, если 3x = n π, где n - целое число. Таким образом, x = n π / 3

Итак, решения уравнения sin$7x$ - sin$x$ = 0: x = $2n+1$ π / 8 или x = n π / 3, где n - целое число.