Решить уравнение sin7x-sinX=0

Чтобы решить уравнение ( \sin 7x - \sin x = 0 ), воспользуемся формулой разности синусов:

[ \sin A - \sin B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \sin \left( \frac{A - B}{2} \right) ]

В нашем случае ( A = 7x ) и ( B = x ). Подставим эти значения в формулу:

[ \sin 7x - \sin x = 2 \cos \left( \frac{7x + x}{2} \right) \sin \left( \frac{7x - x}{2} \right) ]

[ = 2 \cos(4x) \sin(3x) ]

Таким образом, уравнение принимает вид:

[ 2 \cos(4x) \sin(3x) = 0 ]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, у нас два уравнения:

1. ( \cos(4x) = 0 )
2. ( \sin(3x) = 0 )

Рассмотрим каждое из них отдельно.

Уравнение 1: ( \cos(4x) = 0 )

Косинус равен нулю в точках, где аргумент равен нечетному числу (\frac{\pi}{2}). То есть:

[ 4x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Решим это уравнение относительно ( x ):

[ x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4}, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Уравнение 2: ( \sin(3x) = 0 )

Синус равен нулю в точках, где аргумент равен целому числу (\pi). То есть:

[ 3x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} ]

Решим это уравнение относительно ( x ):

[ x = \frac{n\pi}{3}, \quad n \in \mathbb{Z} ]

Общий ответ

Таким образом, общее решение уравнения ( \sin 7x - \sin x = 0 ) состоит из решений двух отдельных уравнений:

1. ( x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4}, \quad k \in \mathbb{Z} )
2. ( x = \frac{n\pi}{3}, \quad n \in \mathbb{Z} )

Это и есть все решения исходного уравнения.

sin7x - sinx = 0

sin7x = sinx

7x = x + 2kπ или 7x = π - x + 2kπ

6x = 2kπ или 8x = π + 2kπ

x = kπ/3 или x = (π/8) + (π/4)k

Ответ: x = kπ/3 или x = (π/8) + (π/4)k, где k - целое число.

Для решения уравнения sin(7x) - sin(x) = 0, воспользуемся формулой разности для синусов: sin(a) - sin(b) = 2 cos((a + b) / 2) sin((a - b) / 2)

Применяя эту формулу к уравнению sin(7x) - sin(x) = 0, получаем: 2 cos((7x + x) / 2) sin((7x - x) / 2) = 0 2 cos(4x) sin(3x) = 0

Теперь рассмотрим два случая:

1. cos(4x) = 0 Это возможно, если 4x = (2n + 1) π / 2, где n - целое число. Таким образом, x = (2n + 1) π / 8

2. sin(3x) = 0 Это возможно, если 3x = n π, где n - целое число. Таким образом, x = n π / 3

Итак, решения уравнения sin(7x) - sin(x) = 0: x = (2n + 1) π / 8 или x = n π / 3, где n - целое число.