Решить уравнение tgx=-3

Чтобы решить уравнение ( \tan x = -3 ), начнем с понимания, что тангенс — это периодическая функция с периодом ( \pi ). Это означает, что если ( x_0 ) — решение уравнения ( \tan x = -3 ), то все решения можно записать в виде:

[ x = x_0 + k\pi, ]

где ( k ) — любое целое число.

Шаг 1: Найти основное решение

Для нахождения основного решения ( x_0 ) воспользуемся арктангенсом:

[ x_0 = \arctan(-3). ]

Арктангенс возвращает значение в диапазоне ( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) ). Так как тангенс отрицателен, ( x_0 ) будет находиться в третьем или четвертом квадранте. Значение ( \arctan(-3) ) можно найти с помощью калькулятора или таблиц, и оно приблизительно равно:

[ x_0 \approx -1.249. ]

Шаг 2: Привести к стандартному виду

Так как мы ищем все решения, нам нужно учитывать периодичность тангенса. Поскольку ( \tan x ) отрицателен в квадрантах II и IV, основное решение ( x_0 ) будет находиться в IV квадранте. Мы можем добавить ( \pi ) для получения другого решения:

[ x_0 = \arctan(-3) + k\pi, ]

где ( k ) — целое число.

Итоговое решение

Таким образом, общее решение уравнения ( \tan x = -3 ) можно записать в виде:

[ x = -1.249 + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. ]

Примеры

Если ( k = 0 ), то:

[ x \approx -1.249. ]

Если ( k = 1 ), то:

[ x \approx -1.249 + \pi \approx 1.892. ]

Если ( k = -1 ), то:

[ x \approx -1.249 - \pi \approx -4.440. ]

Таким образом, у нас есть бесконечное множество решений, расположенных через ( \pi ) друг от друга.

Чтобы решить уравнение ( \tan x = -3 ), нужно найти x в интервалах, где тангенс принимает отрицательные значения.

1. Основное решение: ( x = \arctan(-3) ).
2. Приблизительное значение: ( x \approx -1.249 ) радиан (или ( x \approx -71.57^\circ )).
3. Общая форма решения: [ x = -1.249 + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

Таким образом, решения уравнения имеют вид ( x \approx -1.249 + n\pi ).

Рассмотрим решение уравнения ( \tan x = -3 ). Для начала представим основные свойства тангенса.

1. Основные свойства тангенса

Функция ( \tan x ) определена при ( x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi ), где ( n \in \mathbb{Z} ) (то есть ( x ) не может быть углом, при котором косинус равен нулю). Тангенс — это периодическая функция с периодом ( \pi ), то есть ( \tan(x + \pi) = \tan x ).

2. Общее решение уравнения

Уравнение ( \tan x = -3 ) означает, что нужно найти такие значения угла ( x ), при которых тангенс угла равен ( -3 ).

Решение такого уравнения находится с использованием арктангенса. Мы используем формулу: [ x = \arctan(-3) + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

Здесь:

• ( \arctan(-3) ) — это угол, тангенс которого равен ( -3 ). Важно отметить, что функция арктангенса возвращает значение в диапазоне ( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) ), то есть в I и IV квадрантах.
• ( n\pi ) добавляется из-за периодичности функции ( \tan x ).

3. Вычисление ( \arctan(-3) )

Точное аналитическое значение ( \arctan(-3) ) не выражается через элементарные функции, поэтому его можно оставить в виде ( \arctan(-3) ), либо приблизительно вычислить. Если пользоваться приближением, например через калькулятор (в радианах): [ \arctan(-3) \approx -1.249. ]

4. Запись общего решения

С учетом периодичности тангенса общее решение запишем как: [ x = -1.249 + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

5. Проверка

Чтобы убедиться, что решение верно, подставим одно из значений ( x ) в исходное уравнение. Например, при ( n = 0 ), ( x \approx -1.249 ): [ \tan(-1.249) \approx -3. ] Результат соответствует исходному уравнению, значит, решение верно.

Ответ

Общее решение уравнения: [ x = \arctan(-3) + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}, ] или в численном виде (в радианах): [ x \approx -1.249 + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}. ]