Решите графическое уравнение 4/x=x-3

Для решения графического уравнения ( \frac{4}{x} = x - 3 ), нужно представить обе части уравнения в виде функций и найти их точку пересечения.

Обозначим первую функцию как ( f(x) = \frac{4}{x} ) и вторую функцию как ( g(x) = x - 3 ).

Далее построим графики обеих функций на одном графике и найдем точку их пересечения.

График функции ( f(x) = \frac{4}{x} ) будет иметь асимптоты ( x = 0 ) и ( y = 0 ). График функции ( g(x) = x - 3 ) будет прямой линией с угловым коэффициентом 1 и смещением вниз на 3 единицы.

Теперь найдем точку пересечения этих двух функций. Подставим одно уравнение в другое и решим полученное уравнение:

( \frac{4}{x} = x - 3 ) ( 4 = x^2 - 3x ) ( x^2 - 3x - 4 = 0 )

Далее решим квадратное уравнение и найдем значения x. Подставим полученные значения x обратно в одно из исходных уравнений, чтобы найти соответствующие значения y.

Таким образом, решив графическое уравнение ( \frac{4}{x} = x - 3 ), можно найти точку пересечения двух функций и найти значения x и y, удовлетворяющие данному уравнению.

Чтобы решить уравнение ( \frac{4}{x} = x - 3 ) графически, следуйте этим шагам:

1. Определите функции:

   • ( f(x) = \frac{4}{x} )
   • ( g(x) = x - 3 )

2. Постройте графики функций:

   • Для ( f(x) = \frac{4}{x} ):

     • Это гипербола. График имеет две ветви, одна в первой и третьей квадрантах (для положительных и отрицательных значений ( x )), асимптоты — это оси ( x ) и ( y ).
     • Важно отметить, что функция не определена в точке ( x = 0 ).

   • Для ( g(x) = x - 3 ):

     • Это прямая линия с угловым коэффициентом 1 и смещением по оси ( y ) на -3. Прямая пересекает ось ( y ) в точке (0, -3) и имеет наклон 45 градусов относительно оси ( x ).

3. Найдите точки пересечения:

   • Точки пересечения графиков этих функций будут решениями уравнения ( \frac{4}{x} = x - 3 ).
   • Начертите графики гиперболы и прямой на той же координатной плоскости.
   • Визуально определите точки, где графики пересекаются.

Для более точного определения точек пересечения, можно выполнить алгебраическое решение:

1. Перенесите все члены уравнения в одну сторону: [ \frac{4}{x} - x + 3 = 0 ]

2. Приведите к общему знаменателю: [ \frac{4 - x^2 + 3x}{x} = 0 ]

3. Числитель должен быть равен нулю для выполнения равенства: [ 4 - x^2 + 3x = 0 ]

4. Решите квадратное уравнение: [ x^2 - 3x - 4 = 0 ]

5. Найдите корни уравнения:

   • Используя формулу корней квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ): [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где ( a = 1 ), ( b = -3 ), ( c = -4 ).

     [ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} ] [ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} ] [ x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} ] [ x = \frac{3 \pm 5}{2} ]

   • Получаем два корня: [ x_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4 ] [ x_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1 ]

Таким образом, решениями уравнения ( \frac{4}{x} = x - 3 ) являются ( x = 4 ) и ( x = -1 ). Эти значения ( x ) соответствуют точкам пересечения графиков функций ( f(x) ) и ( g(x) ).